专题61 用样本估计总体（解析版）.docVIP

专题61用样本估计总体

必威体育精装版考纲

1.了解分布的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点．

2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．

3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数，标准差)，并做出合理的解释．

4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．

5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.

基础知识融会贯通

1．作频率分布直方图的步骤

(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)．

(2)决定组距与组数．

(3)将数据分组．

(4)列频率分布表．

(5)画频率分布直方图．

2．频率分布折线图和总体密度曲线

(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．

(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．

3．茎叶图

统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数．

4．标准差和方差

(1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离．

(2)标准差：

s＝eq\r(\f(1,n)[?x1－\x\to(x)?2＋?x2－\x\to(x)?2＋…＋?xn－\x\to(x)?2]).

(3)方差：s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2](xn是样本数据，n是样本容量，eq\x\to(x)是样本平均数)．

【知识拓展】

1．频率分布直方图的特点

(1)频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示eq\f(频率,组距)，频率＝组距×eq\f(频率,组距).

(2)在频率分布直方图中，各小长方形的面积总和等于1，因为在频率分布直方图中组距是一个固定值，所以各小长方形高的比也就是频率比．

(3)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确，后者直观．

2．平均数、方差的公式推广

(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为eq\x\to(x)，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是meq\x\to(x)＋a.

(2)数据x1，x2，…，xn的方差为s2.

①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；

②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.

重点难点突破

【题型一】茎叶图的应用

【典型例题】

某学校A、B两个班的数学兴趣小组在一次数学对抗赛中的成绩绘制茎叶图如下，

①A班数学兴趣小组的平均成绩高于B班的平均成绩；

②A班数学兴趣小组成绩的众数小于B班成绩的众数；

③A班数学兴趣小组成绩的极差小于B班成绩的极差；

④A班数学兴趣小组成绩的中位数大于B班成绩的中位数．

其中正确结论的编号为（）

A．①④ B．②③ C．②④ D．①③

【解答】解：对于①，由已知中的茎叶图可得：

（40+53+62+64+76+74+78+78+76+81+85+86+88+82+92+95）＝78，

（45+48+51+53+56+62+64+65+73+73+74+70+83+82+91）＝66，

可得：，故正确．

对于②，A班数学兴趣小组成绩的众数为：76，78，B班成绩的众数为73，故错误；

对于③，A班数学兴趣小组成绩的极差为：95﹣40＝55，大于B班成绩的极差为：91﹣45＝46，

B班成绩的极差小，故错误．

对于④，A班数学兴趣小组成绩的中位数为：78，大于B班成绩的中位数65，故正确．

故选：A．

【再练一题】

将某选手的6个得分去掉1个最高分，去掉一个最低分，4个剩余分数的平均分为91．现场作的6个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则4个剩余分数的方差为（）

A．6 B．1 C． D．4

【解答】解：将某选手的6个得分去掉1个最高分，去掉一个最低分，4个剩余分数的平均分为91．

现场作的6个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，

由题意得x≥3，

则4个剩余分数的方差为：

S2[（93﹣91）2+（90﹣91）2+（90﹣91）2+（91﹣91）2]．

故选：C．

思维升华茎叶图的优缺点

由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类似．它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失，第二点是茎叶图便于记录和表示．其缺点是当样本容量较大时，作图较烦琐．

【题型二】频率分布直方图的绘制与应用

命题点1用频率分布直方图求频率、频数