专题30 数列的概念与简单表示法-高考数学一轮复习(文理通用)（解析版）.doc

专题30数列的概念与简单表示法

必威体育精装版考纲

1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).

2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.

基础知识融会贯通

1．数列的定义

按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．

2．数列的分类

分类原则

类型

满足条件

按项数分类

有穷数列

项数有限

无穷数列

项数无限

按项与项间

的大小关系

分类

递增数列

an＋1____an

其中n∈N*

递减数列

an＋1____an

常数列

an＋1＝an

摆动数列

从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列

3.数列的表示法

数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．

4．数列的通项公式

如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

【知识拓展】

1．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，

则an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2，n∈N*.))

2．在数列{an}中，若an最大，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1.))

若an最小，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1.))

3．数列与函数的关系

数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．

重点难点突破

【题型一】由数列的前几项求数列的通项公式

【典型例题】

若一个数列的前三项依次为6，18，54，则此数列的一个通项公式为（）

A．an＝4n﹣2 B．an＝2n+4 C．an＝2×3n D．an＝3×2n

【解答】解：依题意，6＝1×6＝30×6，18＝3×6＝31×6，54＝9×6＝32×6，

所以此数列的一个通项公式为an＝2×3n，

故选：C．

【再练一题】

数列1，3，7，15，…的一个通项公式是（）

A． B． C． D．

【解答】解：经过观察，1＝21﹣1，3＝22﹣1，7＝23﹣1，15＝24﹣1，……故推测an＝2n﹣1．、

故选：D．

思维升华由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略

(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．

(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理．

(3)如果是选择题，可采用代入验证的方法．

【题型二】由an与Sn的关系求通项公式

【典型例题】

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an+1＝2Sn（n∈N+），则数列{an}的通项公式an＝QUOTE．

【解答】解：当n≥2时，an＝2Sn﹣1，

∴an+1﹣an＝2Sn﹣2Sn﹣1＝2an，

即an+1＝3an，

∴数列{an}为等比数列，a2＝2a1＝2，公比为3，

∴an＝2?3n﹣2，

当n＝1时，a1＝1

∴数列{an}的通项公式为．

故答案为：．

【再练一题】

已知数列{an}的前n项和Sn满足SnS1＝Sn+1（n∈N*），且a1＝2，那么a7＝（）

A．128 B．16 C．32 D．64

【解答】解：∵数列{an}的前n项和Sn满足SnS1＝Sn+1（n∈N*），a1＝2，

∴Sn+1＝2Sn，

∴Sn＝2×2n﹣1＝2n．

∴当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣2n﹣1＝2n﹣1．

∴a7＝26＝64．

故选：D．

思维升华已知Sn，求an的步骤

(1)当n＝1时，a1＝S1.

(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.

(3)对n＝1时的情况进行检验，若适合n≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式．

【题型三】由数列的递推关系求通项公式

【典型例题】

已知数列{an}满足：a1＝1，an+1＝3an﹣2，则a6＝（）

A．0 B．1 C．2 D．6

【解答】解：因为a1＝1，an+1＝3an﹣2，所以a2＝3﹣2＝1，

以此类推可得a3＝3a2﹣2＝1，a4＝3a3﹣2＝1，a5＝3a4﹣2＝1，a6＝3a5﹣2＝1．

故选：B．

【再练一题】

已知数列{an}满足：a1，an+1＝an，（n∈N*），则a2019＝（）

A．1 B．1 C． D．

【解答】解：根据题意，an+1＝an，即（an+1﹣an），

则a2019＝（a2019﹣