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全等三角形知识梳理
一、知识网络
二、基础知识梳理
(一)、基本概念
1、“全等”的理解全等的图形必须满足:(1)形状相似的图形;(2)大小相等的图形;
即可以完全重叠的两個图形叫全等形。同样我們把可以完全重叠的两個三角形叫做全等三角形。
當两個三角形完全重叠時,互相重叠的顶點叫做對应顶點,互相重叠的边叫做對应边,互相重叠的角叫做對应角。
(1)全等三角形對应角所對的边是對应边,两個對应角所夹的边是對应边;
(2)全等三角形對应边所對的角是對应角,两条對应边所夹的角是對应角;
(3)有公共边的,公共边一定是對应边;
(4)有公共角的,角一定是對应角;
(5)有對顶角的,對顶角一定是對应角。
2、全等三角形的性质
(1)全等三角形對应边相等;(2)全等三角形對应角相等(即對应元素相等)
3、全等三角形的鉴定措施
(1)三边對应相等的两個三角形全等(SSS)。
(2)两边和它們的夹角對应相等的两個三角形全等(SAS)。
(3)两角和它們的夹边對应相等的两個三角形全等(ASA)。
(4)两角和其中一角的對边對应相等的两個三角形全等(AAS)。
(5)斜边和一条直角边對应相等的两個直角三角形全等(HL)。
因此,SSS,SAS,ASA,AAS,HL均為鉴定三角形全等的定理。
注意:在全等的鉴定中,没有AAA和SSA,這两种状况都不能唯一确定三角形的形状。
4、角平分线的性质及鉴定
性质:角平分线上的點到這個角的两边的距离相等
鉴定:到一种角的两边距离相等的點在這個角平分线上
尺规作图
(二)灵活运用定理
1、鉴定两個三角形全等的定理中,必须具有三個条件,且至少要有一组边對应相等,因此在寻找全等的条件時,總是先寻找边相等的也許性。
2、要善于发現和运用隐含的等量元素,如公共角、公共边、對顶角等。
3、要善于灵活选择合适的措施鉴定两個三角形全等。
(1)已知条件中有两角對应相等,可找:
①夹边相等(ASA)②任一组等角的對边相等(AAS)
(2)已知条件中有两边對应相等,可找
①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)
(3)已知条件中有一边一角對应相等,可找
①任一组角相等(AAS或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)
轴對称知识梳理
一、基本概念
1.轴對称图形
假如一种图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分可以互相重叠,這個图形就叫做轴對称图形,這条直线就叫做對称轴.折叠後重叠的點是對应點,叫做對称點.
2.线段的垂直平分线
通過线段中點并且垂直于這条线段的直线,叫做這条线段的垂直平分线
3.轴對称变换
由一种平面图形得到它的轴對称图形叫做轴對称变换.
4.等腰三角形
有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角.
5.等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
二、重要性质
1.假如两個图形有关某条直线對称,那么對称轴是任何一對對应點所连线段的垂直平分线.或者說轴對称图形的對称轴,是任何一對對应點所连线段的垂直平分线.
2.线段垂直平分钱的性质
线段垂直平分线上的點与這条线段两個端點的距离相等.
3.(1)點P(x,y)有关x轴對称的點的坐標為P′(x,-y).
(2)點P(x,y)有关y轴對称的點的坐標為P″(-x,y).
4.等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的两個底角相等(简称“等边對等角”).
(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重叠.
(3)等腰三角形是轴對称图形,底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线就是它的對称轴.
(4)等腰三角形两腰上的高、中线分别相等,两底角的平分线也相等.
(5)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的二分之一。
(6)等腰三角形顶角的外角平分线平行于這個三角形的底边.
5.等边三角形的性质
(1)等边三角形的三個内角都相等,并且每一种角都等于60°.
(2)等边三角形是轴對称图形,共有三条對称轴.
(3)等边三角形每边上的中线、高和该边所對内角的平分线互相重叠.
三、有关鉴定
1.与一条线段两個端點距离相等的點,在這条线段的垂直平分线上.
2.假如一种三角形有两個角相等,那么這两個角所對的边也相等(简写成“等角對等边”).
3.三個角都相等的三角形是等边三角形.
4.有一种角是60°的等腰三角形是等边三角形.
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