江苏省苏州市第五中学高中数学 12导数的运算学案苏教版选修22.doc

12导数的运算

一学习内容要求及建议

知识方法

要求

学习建议

导数的运算

理解

熟记常见函数的导数，熟练掌握函数和差积(包括数乘)商的导数的运算法则，会求简单的复合函数的导数(首先了解内函数与外函数的有关概念)

二预习指导

1预习目标

(1)熟记常见函数的导数；

(2)掌握函数和差积(包括数乘)商的导数的运算法则；

(3)了解内函数与外函数的有关概念，会求简单的复合函数的导数

2预习提纲

(1)回忆上一节导数的概念，思考利用导数的定义求一些简单函数的导数的流程

(2)阅读课本

①写出下列常见函数的导数：

一次函数；常数函数；幂函数，正弦函数；余弦函数；指数函数和；对数函数和

②试写出函数的和差积商的求导法则

③简单复合函数的导数：

复合函数：由几个函数复合而成的函数，叫复合函数由函数与复合而成的函数一般形式是，其中u称为中间变量，设函数u=(x)在点x处有导数，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数，则复合函数在点x处也有导数，且

(3)课本第24例1与例2的解题过程给你怎样的启示?

3典型例题

例1利用导数的定义求下列函数的导数

(1)y=x2＋x；(2)

分析：首先计算的值，再化简，然后计算当无限趋近于0时，无限趋近于的常数

解：(1)，

，当时，，所以

(2)=，

，当时，，即

点评：当无限趋近于0时，讨论的变化趋势时，可以看作为变量，其余的可作为常量

例2求下列函数的导数：

(1)y=x3；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)

分析：对于简单函数的求导，关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y==x3；=等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算错误

解：(1)(x3)′=3x31=3x2；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)；

(6)

点评：运算的准确是数学能力高低的重要标志，要从思想上提高认识，养成思维严谨步骤完整的解题习惯，不仅要会求，而且要解题规范结果准确

例3求曲线在点A处的切线方程

分析：先用公式求出的导数，然后利用导函数求出曲线在点处的切线斜率，最后应用点斜式写出方程

解：∵∴

∴∴所求切线的斜率

∴所求切线的方程为，

即

答：曲线在点的切线方程为

点评：利用常见函数的导数公式可以求出y=xn()y=sinx及y=cosx上任一点(定义域内)处的切线斜率，从而可得任一点处的切线方程

例4已知曲线y=上的一点，求

(1)点P处的切线方程；(2)过点P的切线方程

分析：考虑两个问题之间的差异，问题⑴实质上是问题⑵的一个部分，关键是要确定切点是什么

解：(1)，因为点在曲线上且，

所以点P处的切线的斜率为4，点P处的切线方程为，

即12x3y16=0，

(2)当点P为切点时，由⑴知道该切线方程是12x3y16=0，

若P点不是切点时，设切点为，此时有，

得或(舍去)，过点P的切线的斜率为1，

过点P的切线方程为，即3x3y＋2=0，

综上所述，过点P的切线方程为：12x3y16=0或3x3y＋2=0

点评：虽然点P在曲线上，但未必是切点，故可分P点是否为切点两种情况讨论本题也可以先设出切点坐标，根据切点在曲线上已知点在切线上切点处的导数等于切线的斜率这三个条件列出三个方程，解方程组求出切点坐标，同学们可以自已尝试一下

例5求下列函数的导数：

(1)；(2)y=xex；(3)；(4)y=tanx；(5)y=sinxcosx?；(6)y=(3x2＋1)(2x)；(7)y=(1＋x2)cosx

分析：仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数求导公式，不具备求导条件可进行适当的恒等变形

解：(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)；

(6)y′=(3x2＋1)(2x)′

=(3x2＋1)′(2x)＋(3x2＋1)(2x)′

=32x(2x)＋(3x2＋1)(1)

=9x2＋12x1

(7)y′=(1＋x2)cosx′=(1＋x2)′cosx＋(1＋x2)(cosx)′

=2xcosx＋(1＋x2)(sinx)=2xcosx(1＋x2)sinx

点评：通过本例可以看出，深刻理解和掌握导数运算法则，再结合给定函数本身的特点，才能准确有效地进行求导运算，在解决新问题时做到举一反三促类旁通

例6求下列函数的导数：

(1)；(2)；(3)；

(4)；(5)

分析：利用复合函数的求导运算法则，弄清各个小题的外函数y=f(u)，及内函数u=g(x)的表达式，有的问题也可以先化简再求导