江苏省苏州市第五中学高中数学 11任意角弧度学案苏教版必修4.docVIP

任意角弧度

一学习内容要求及建议

知识方法

要求

建议

任意角的概念

终边相同的角的表示

理解

正角负角的引入可类比正负数；用集合和符号语言正确表示终边相同的角；弄清1弧度的角的含义；了解角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角

判断角所在的象限

弧度的意义

弧度与角度的换算

特殊角的弧度数

弧度制下的弧长公式

二预习指导

1预习目标

(1)理解正角负角零角等概念；掌握象限角的概念及判定方法

(2)会写出终边相同的角的集合某个区间上角的集合终边在坐标轴上的角的集合以及象限角的集合

(3)准确地掌握1弧度的角的定义以及弧度制引进的意义；能根据弧长与半径的关系，用弧度制确定角的大小

(4)能熟练地进行弧度制和角度制这两种量角制之间的换算，并能熟记特殊角的弧度数

(5)掌握弧度制下弧长和扇形的面积公式，并能运用其解决简单的实际问题

(6)理解用弧度制度量角，使角的集合与实数集R之间建立一一对应的关系

2预习提纲

(1)查阅小学教材，复习角的概念，并与高中教材中角的概念进行对比；查阅初中教材(九年级上册)“弧长及扇形的面积”，复习角度制下的弧长公式扇形面积公式，并尝试与高中弧度制下公式的互化

(2)对任意角的概念可从实际生活中寻找实例，请举例并与同学交流辨析

(3)从具体实例中观察终边相同的角的关系并归纳小结，学会用集合和符号语言正确地表示出来

(4)理解1弧度的角的含义，体会弧度制引入的意义掌握“弧度数”与“角度数”换算的关键

(5)教材第6例2求解中蕴含着分类讨论的思想，为什么要对k分奇数和偶数进行分类，思考其中的缘由

(6)上网查阅弧度制的历史和有关欧拉的资料

(7)上网查阅了解**事上用密位制度量角，了解密位制与角度值的关系

3典型例题

例1判断下列说法是否正确

(1)终边相同的角一定相等；

(2)锐角都是第一象限角；

(3)第一象限的角都是锐角；

(4)小于90°的角都是锐角

分析：根据各类角的定义范围加以辨别

解：(1)不正确如角与角的终边相同，但不相等

(2)正确因为锐角是指大于小于的角，其终边落在第一象限

(3)不正确如角的终边在第一象限，但它不是锐角

(4)不正确如负角都是小于90°的角，但都不是锐角

点评：本题考查了关于各类角的定义及范围，要求学生概念清晰，并善于用举反例的方法进行概念辨析

例2试写出终边在直线上的所有角的集合，并指出上述集合中介于和之间的角

分析：先找出终边在直线上且在内的角，再写出与其终边相同的角的集合，最后再考虑形式上的合并，然后给k赋值得出介于和之间的角

解：终边在直线上且在内的角为和，所以终边与其相同的角的集合为，即

取＝1和0，得和介于和之间

点评：本题考查了终边相同的角的集合表示，并要求在具体范围内找出与之终边相同的角本题终边是一条直线，解题时需要先从射线入手，最后再进行合并，有一定难度

例3如图，用弧度制写出顶点在原点，始边重合于x轴正半轴，终边落在阴影部分的角的集合(包括边界)

分析：先确定角的终边OAOB的角，再依照逆时针方向旋转规则，用终边相同的角的写法表示出符合条件的范围

解：(1)图中以OB为终边的角看成，以OA为终边的角看成，再根据终边相同的

角的表示方法，得到阴影部分的角的集合为

(2)图中以OA为终边的角看成，以OB为终边的角看成，所以得到阴影部

分的角的集合为

(3)把图中阴影部分看成是由AB逆时针旋转至x轴得到，所以阴影部分的角的集

合为

点评：此类问题需要注意的是阴影部分的边界所表示的角是互相联系的按逆时针方向选定前者为区域的起始边界，后者为终止边界，若起始边所表示的角为，由起始边旋转至终止边所旋转的最小正角为，则终止边所表示的角本题还需要注意两点，一是弧度制的正确使用；二是旋转边为直线的表示方法

例4一扇形AOB的面积是1cm2，它的周长是4cm，求扇形的半径及圆心角∠AOB

分析：根据弧长及扇形面积计算公式列出方程组求解即可

解：设扇形的半径为rcm，圆心角∠AOB为rad，

则解之得

答：扇形的半径为1cm，圆心角∠AOB的弧度数为2rad

点评：本题考查了弧长及扇形面积计算公式及方程(组)的思想方法，需要注意的是公式中的圆心角应采用弧度制，尽量避免初中所学的角度制下的计算公式

4自我检测

(1)在0°～360°之间，

①与终边相同的角是_________；

②与990°终边相同的角是_____________

(2)若是第四象限角，则是第_________象限角

(3)写出与角15°终边相同角的集合，并把该集合中适合不等式1080°≤β＜360°的元素β求出来