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2024—2025学年度上学期普通高中高三第四次联合教学质量检测
高三数学试卷
满分150分,考试用时120分钟
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设集合,,若,则的取值范围是()
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集的计算结果可得集合间的关系,即可得解.
【详解】由知,
又,,所以,
故选:B.
2.在中,点是边上一点,若,则的最小值为()
A. B. C. D.1
【答案】B
【解析】
【分析】利用共线向量定理的推论可得,再消元并结合二次函数求出最小值.【详解】在中,点是边上一点,由,得,即,
则,当且仅当时取等号,
所以所求的最小值为.
故选:B
3.正项递增等比数列,前n项的和为,若,,则()
A.121 B.364 C.728 D.1093
【答案】B
【解析】
【分析】由条件结合等比数列性质求,再根据等比数列通项公式求公比,首项,结合等比数列求和公式求.
【详解】在正项递增等比数列中,所以,
又,所以或(舍去),
设数列的公比为,则,所以,所以.
故选:B.
4.英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图,每一黑点表示钉在板上的一颗钉子,它们彼此的距离均相等,上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间,小球每次下落,将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上,老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后,爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”,它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时,向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时,最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下,经过5层钉板最终落到4号位置的概率是()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】向左下落的概率为向右下落的概率的2倍,所以向左下落的概率为,向右下落的概率为,由二项分布的性质计算概率即可.
【详解】向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.
所以向左下落的概率为,向右下落的概率为,
则下落的过程中向左一次,向右三次才能最终落到4号位置,
故此时概率为:.
故选:A
5.函数图象的一条对称轴为直线,则()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】借助辅助角公式与正弦型函数的对称轴计算即可得.
【详解】由题意可得,,
,其中,,
由函数图象的一条对称轴为直线,
即有,即,又,故,故.
故选:C.
6.已知点、是椭圆的左、右焦点,点M为椭圆B上一点,点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上,若,则椭圆B的离心率为()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】确定在上,设,由椭圆的定义用表示出,由余弦定理确定的关系,然后在中用余弦定理求得关系,得离心率.
【详解】点关于的角平分线的对称点N必在上,因此共线,,
,设,则,,,
又,∴,
中,由余弦定理得:,
∴,化简得,
∴,,
中,,
由余弦定理得,解得,
故选:B.
7.已知函数定义域为,,,,且,,则实数的取值范围是()
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题可得在上递增,然后将化为,由单调性结合定义域可得答案.
【详解】由条件得,,,在上递增.
由得,
则或.
故选:B.
8.在△中,为的角平分线(在线段上),,当取最小值时,().
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】根据题意,先在中由余弦定理可得,再由角平分线定理可得,即可得到的函数关系式,然后求导,即可得到其极小值,从而得到结果.
【详解】设,,则,
则中由余弦定理可得,
即,所以,
由角平分线定理可得,所以.
又,
故,
化简得①,
而在△中由余弦定理,
代入①得.又因为,所以,所以,
故.
所以,
所以,
令或(舍去),所以当时,f′x0,则单调递减,
当时,f′x0,则
所以时,取得最小值,即取得最小值.
所以取得最小值时,.
故选:C.
【点睛】关键点睛:解决本题的关键点1是先设,,则,依据已知条件由余弦定理结合三角形角平分线性质求
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