江苏省东台市三仓中学高考数学 24函数的奇偶性与周期性学案.doc

第二章函数

§24函数的奇偶性与周期性

导学目标：

①结合具体函数，了解函数奇偶性周期性的含义；；

②会运用函数图像理解和研究函数的性质

自主梳理

1奇函数偶函数的概念

如果对于函数的定义域内任意一个，都有______，则函数叫做偶函数

如果对于函数的定义域内任意一个，都有______，则函数叫做奇函数

2判断函数的奇偶性一般步骤是：

（1）考查定义域是否关于___________

（2）根据定义域考查表达式是否等于或—

若=______，则为奇函数；若=______，则为偶函数

若=______且=_______，则既是奇函数又是偶函数；

若≠—且≠，则是非奇非偶函数

3函数的图象与性质

奇函数的图象关于对称，偶函数的图象关于对称

4函数奇偶性和单调性的相关关系

（1）奇函数在和上有________的单调性

（2）偶函数在和上有________的单调性

（3）在公共定义域内：两个奇函数的和是，两个奇函数的积是；

两个偶函数的和积都是；一个奇函数，一个偶函数的积是。

5函数的周期性

（1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何一个值时，都有，则称是周期函数，称T为这个函数的周期。

（2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中，的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期。

自我检测

（课本题改编）已知是定义在上的偶函数，则的值为

2已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则

3已知函数，为奇函数，则函数的奇偶性为。（填奇函数或偶函数）

4已知函数，对，都有且时，则

5设函数是定义在上的奇函数，且，则

探究点一函数奇偶性的判断：

【例1】判断下列函数的奇偶性：

(1)；(2)；

（3）（4）

探究点二函数奇偶性的应用：

【例2】若是定义在上的奇函数，当时，，求当时，函数的解析式。（必修1习题10改编）

【例3】函数是奇函数，且当时是增函数，若求不等式的解集

探究点三函数奇偶性与周期性的应用：

【例4】已知是R上的奇函数,且对任意实数x，恒有。当时。

求证：是周期函数

当时，求的解析式。

计算

1若函数是奇函数，则

2定义在R上的偶函数在上为增函数，且，则不等式的解集为

3设函数是奇函数且周期为3，则，则

4设函数是定义在R上的奇函数，若当时，则满足

的x的取值范围是

5已知是定义在R上的奇函数，且满足，当时

，则

6已知是定义在R上的偶函数，且满足，则