第二节　常用逻辑用语.docx

PAGE4/NUMPAGES4

第二节常用逻辑用语

1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，理解定义、判定定理、性质定理与充要条件、充分条件、必要条件的关系.

2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.

3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

1.充分条件与必要条件

命题真假

“若p，则q”为真命题

“若p，则q”为假命题

“若p，则q”和“若q，则p”都是真命题

推出关系

pq

pq

pq

条件关系

p是q的条件，q是p的条件

p不是q的条件，q不是p的条件

p是q的条件，简称条件

提醒（1）A是B的充分不必要条件?A?B且BA；（2）A的充分不必要条件是B?B?A且AB.

2.全称量词和存在量词

类别

全称量词

存在量词

量词

所有的、任意一个

存在一个、至少有一个

符号

?

?

命题

含有的命题叫做全称量词命题

含有的命题叫做存在量词命题

命题形式

“对M中任意一个x，p（x）成立”，可用符号简记为“”

“存在M中的元素x，p（x）成立”，可用符号简记为“”

3.全称量词命题和存在量词命题的否定

名称

全称量词命题

存在量词命题

结构

对M中任意一个x，p（x）成立

存在M中的元素x，p（x）成立

简记

?x∈M，p（x）

?x∈M，p（x）

否定

____________

____________

提醒对没有量词的命题否定时，要结合命题的含义加上量词，再改变量词.

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）“至少有一个三角形的内角和为π”是全称量词命题.（）

（2）写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词.（）

（3）当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.（）

（4）若已知p：x＞1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件.（）

2.已知命题p：?x∈R，x＞sinx，则p的否定为（）

A.?x∈R，x＜sinx B.?x∈R，x≤sinx

C.?x∈R，x≤sinx D.?x∈R，x＜sinx

3.（2023·天津高考2题）“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件

4.“等边三角形都是等腰三角形”的否定是.

5.若“x＞m”是“x＞3”的充分不必要条件，则m的取值范围是.

1.充分（必要、充要）条件与集合间的包含关系

设A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}：

（1）若A?B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；

（2）若A?B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；

（3）若A＝B，则p是q的充要条件.

2.命题p和??p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假.

1.设x∈R，则“x＞0”是“2x＞2”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2.若“?x∈R，x2－ax－2a＞0”是假命题，则实数a的取值范围是.

全称量词命题与存在量词命题

考向1含量词命题的否定及真假判定

【例1】（1）已知命题p：?x∈R，x＝－1或x＝2，则（）

A.??p：?x?R，x≠－1或x≠2 B.??p：?x∈R，x≠－1且x≠2

C.??p：?x∈R，x＝－1且x＝2 D.??p：?x?R，x＝－1或x＝2

（2）下列命题为真命题的是（）

A.?x∈R，ln（x2＋1）＜0 B.?x＞2，2x＞x2

C.?α，β∈R，sin（α－β）＝sinα－sinβ D.?x∈（0，π），sinx＞cosx

听课记录

解题技法

1.对全称量词命题与存在量词命题进行否定的方法

（1）改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；

（2）否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可.

2.全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法

（1）全称量词命题：①要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；②要判断一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p（x0）不成立即