2024-2025学年上海市西中学高三上学期数学摸底考及答案（2024.10）.docx

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市西中学2024学年第一学期高三年级数学摸底

2024.09

一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．已知集合，，则________．

2．函数的定义域是________．

3．若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围是________．

4．已知数列，，若在上是递增数列，则实数的取值范围是________．

5．已知关于的方程的两个虚数根在复平面上对应的两点之间的距离为，则实数________．

6．若四面体的各个顶点到平面的距离都相等，则称平面为该四面体的中位面，则一个四面体的中位面的个数是________．

7．已知在中，，，其外接圆的圆心为，则的值为________．

8．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则摸出的2个球中恰有1个红球的概率是________．

9．若点既是，的中点，又是直线与的交点，则线段的垂直平分线的方程是________．

10．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，，，则点的横坐标为________．

11．已知直线与函数的图像相交，若自左至右的三个相邻交点，，满足，则实数________．

12．祖暅是我国古代的伟大科学家，他在5世纪末提出：“幂势即同，则积不容异．”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．这就是著名的祖暅原理，祖暅原理常用来由已知几何体的体积推导未知几何体的体积，例如由圆锥和圆柱的体积推导半球体的体积，其示意图如图一所示．利用此方法，可以计算如下抛物体的体积：在平面直角坐标系中，设抛物线的方程为，将围绕轴旋转，得到的旋转体称为抛物体．利用祖暅原理可用一个直三棱柱求解，如图二，由此可计算得该抛物体的体积为________．

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分,第15-16题每题5分）．

13．下列事件中，随机事件的个数是（）个．

①某人购买福利彩票一注，中奖500万元；

②三角形的内角和为；

③地球上，没有空气和水，人类可以生存下去；

④同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上．

A．1 B．2 C．3 D．4

14．函数的零点所在的区间是（）

A． B． C． D．

15．设，．若对任意实数都有，则满足条件的有序实数对的对数为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

16．设、是定义域为的恒大于的可导函数，且，则当时，有（）

A． B．

C． D．

三、解答题（本大题满分78分）．

17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

如图，扇形的半径为，圆心角为，为弧上一动点，为半径上一点且满足．

（1）若，求的长；

（2）求面积的最大值．

18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

如图，在三棱柱中，侧面为正方形，；设是的中点，满足，是的中点，是线段上的一点．

（1）证明：平面；

（2）若，，求直线与平面所成角的大小．

19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分6分

已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．，分别为椭圆的上、下顶点，动直线交椭圆于、两点，满足，过点作，垂足为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求证：直线过定点，并求出此定点的坐标；

（3）求面积的最大值．

20．（本题满分18分）

在某一个十字路口，每次亮绿灯的时长为（为时间单位：秒），那么每次绿灯亮时，在同一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口？

该问题涉及车长、车距、车速，前方堵塞状况包括行人非机动车等因素．为了将问题简化，在路况车况驽驶状态等都良好的前提下，提出如下基本假设：

1．通过路口的车辆长度都相等；

2．等待通行时，前后相邻两辆车的车距都相等；

3．绿灯亮时，汽车都是沿同方向从静止状态匀加速启动，到达最高限速汽车开始匀速行驶；

4．离路口信号灯最近的第一辆车在绿灯亮后延迟时间开始动起来．前一辆车启动后，下一辆车启动的延迟时间相等，在延迟时间内，车辆保持静止；

5．按照交通安全法规行辌，行车秩序良好，没有硅擦或培塞等现象发生．

一名建模爱好者收集数据整理如下：

1．车长设为，取5m，车距设为，取2m，第一辆车离停车线距离为0m；

2．加速度记作，取，汽车在为加速运动时段