专题11 乘法公式【十大题型】（解析版）-2024-2025学年八年级数学提优专题举一反三训练及试卷测试（人教版）.docx

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专题11 乘法公式【十大题型】（解析版）

【人教版】

【题型1 判断运用乘法公式计算的正误】 1

【题型2 利用完全平方式确定系数】 2

【题型3 乘法公式的计算】 2

【题型4 利用乘法公式求值】 2

【题型5 利用面积法验证乘法公式】 3

【题型6 乘法公式的应用】 3

【题型7 平方差公式的几何背景】 3

【题型8 完全平方公式的几何背景】 5

【题型9 乘法公式中的新定义问题】 6

【题型10乘法公式的规律探究】 7

【知识点 乘法公式】

平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

这个公式叫做平方差公式。

完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的

平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。

【题型1 判断运用乘法公式计算的正误】

【例1】（2023春?织金县期末）计算（x﹣y+3）（x+y﹣3）时，下列各变形中正确的是（）

A．[（x﹣y）+3][（x+y）﹣3] B．[（x+3）﹣y][（x﹣3）+y]

C．[x﹣（y+3）][x+（y﹣3）] D．[x﹣（y﹣3）][x+（y﹣3）]

【分析】本题是平方差公式的应用，x是相同的项，互为相反项是（y﹣3），对照平方差公式变形即可．

【解答】解：（x﹣y+3）（x+y﹣3）＝[x﹣（y﹣3）][x+（y﹣3）]，

故选：D．

【点评】本题主要考查了二次根式的乘法运算以及平方差公式的应用．运用平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．

【变式1-1】（2023春?宁波期中）在下列多项式的乘法中，不可以用平方差公式计算的是（）

A．（x+y）（x﹣y） B．（﹣x+y）（x+y）

C．（﹣x﹣y）（﹣x+y） D．（x﹣y）（﹣x+y）

【分析】根据平方差公式是两个数的和与这两个数的差相乘等于这两个数的平方差，由此进行判断即可．

【解答】解：A、B、C选项都是两个数的和与这两个数的差相乘，可以使用平方差公式，

D选项变形后为﹣（x﹣y）2，不能使用平方差公式；

故选：D．

【点评】本题考查平方差公式．熟练掌握平方差公式是关键．

【变式1-2】（2021春?高州市期中）下列多项式不是完全平方式的是（）

A．x2﹣4x﹣4 B．14+m2+m C．a2+2ab+b2 D．t2+4

【分析】根据完全平方式的公式进行答题．

【解答】解：A、应为x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，故A不是完全平方公式，符合题意；

B、原式＝（12+m）

C、原式＝（a+b）2，是完全平方公式，不符合题意；

D、原式＝（t+2）2，是完全平方公式，不符合题意；

故选：A．

【点评】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．

【变式1-3】（2023春?高邮市期末）若将多项式4a2﹣2a+1加上一个单项式成为一个完全平方式，则这个单项式可以是﹣2a（答案不唯一）．（只要写出符合条件的一个）

【分析】根据完全平方公式即可得出答案．

【解答】解：∵多项式4a2﹣2a+1加上一个单项式成为一个完全平方式，

∴该完全平方公式可以是（2a﹣1）2，

∵（2a﹣1）2＝4a2﹣4a+1＝4a2﹣2a+1﹣2a，

∴这个单项式可以是﹣2a，

故答案为：﹣2a（答案不唯一）．

【点评】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．

【题型2 利用完全平方式确定系数】

【例2】（2023春?开江县期中）若x2+2（m﹣3）x+1是完全平方式，x+n与x+2的乘积中不含x的一次项，则nm的值为4或16．．

【分析】利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则确定出m与n的值，代入原式计算即可求出值．

【解答】解：∵x2+2（m﹣3）x+1是完全平方式，

∴m﹣3＝±1，

∴m＝4或m＝2，

∵x+n与x+2的乘积中不含x的一次项，（x+n）（x+2）＝x2+（n+2）x+2n，

∴n+2＝0，

∴n＝﹣2，

当m＝4，n＝﹣2时，nm＝（﹣2）4＝16；

当m＝2，n＝﹣2时，nm＝（﹣2）2＝4，

则nm＝4或16，

故答案为：4或16．

【点评】本题考查了完全平方式，以及多项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．

【变式2-1】（2021秋?铁东区期中）若9x2﹣（k﹣1）xy+25y2是关于x的完全平方式，则k＝31或﹣29．

【分析】由9x2﹣（k﹣1）xy+25y2是关于x的完全平方式，得出9x