专题14 整式乘法与因式分解八大题型拔尖篇（原卷版）-2024-2025学年八年级数学提优专题举一反三训练及试卷测试（人教版）.docx

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专题14整式乘法与因式分解八大题型拔尖篇（原卷版）

【人教版】

【题型1巧用幂的运算逆向运算】

【题型2整式乘法中不含某项问题】

【题型3多项式乘法中的规律性问题】

【题型4巧用乘法公式求值】

【题型5乘法公式的几何背景】

【题型6利用因式分解探究三角形形状】

【题型7利用拆项或添项进行因式分解】

【题型8因式分解的应用】

【题型1巧用幂的运算逆向运算】

【例1】（2024春?清远期中）运用所学的“幂的运算性质”am?an＝am+n，am÷an＝am﹣n，（am）n＝amn，（ab）n＝anbn．

（1）已知a＝355，b＝444，c＝533，比较a、b、c的大小

（2）已知2a＝3，2b＝6，2c＝12找出a、b、c之间的等量关系；

（3）试比较1714与3111的大小．

【变式1-1】（2024春?沭阳县月考）已知常数a，b满足2a×22b＝8，且（5a）2×（52b）2÷（53a）b＝125，求ab的值．

【变式1-2】（1）已知x3?xa?x2a+1＝x31，求a的值；

（2）已知243m＝310，9n＝81，求mn的值；

（3）已知a2n+1＝5，求a6n+3的值；

（4）已知xn＝2，yn＝3，求（x2y）2n的值；

（5）已知（2a﹣1）a+2＝1，求a的值．

【变式1-3】（2021春?兴化市期中）爱动脑筋的小明在学习《幂的运算》时发现：若am＝an（a＞0，且a≠1，m、n都是正整数），则m＝n，例如：若5m＝54，则m＝4．小明将这个发现与老师分享，并得到老师确认是正确的，请您和小明一起用这个正确的发现解决下面的问题：

（1）如果2×4x×32x＝236，求x的值；

（2）如果3x+2+3x+1＝108，求x的值．

【题型2整式乘法中不含某项问题】

【例2】（2023秋?雁峰区月考）已知（x2+mx+n）（x2﹣3x+2）的展开式中不含x2和x3项，则m+n＝．

【变式2-1】（2024秋?临淄区期末）老师在黑板上布置了一道题：

已知x＝﹣2，求代数式（2x﹣y）（2x+y）+（2x﹣y）（y﹣4x）+2y（y﹣3x）的值．

小亮和小新展开了下面的讨论：

小亮：只知道x的值，没有告诉y的值，这道题不能做．

小新：这道题与y的值无关，可以求解．

根据上述情景，你认为谁说的正确？为什么？

【变式2-2】（2023春?高新区月考）已知（x2+mx﹣3）（2x+n）的展开式中不含x的一次项，常数项是﹣6，则mn的值为．

【变式2-3】（2022秋?鲤城区期中）已知关于x、y的代数式（2x+5y3）（2x﹣5y3）﹣（mx﹣3）2+nx的值与x的取值无关，求实数m、n的值．

【题型3多项式乘法中的规律性问题】

【例3】（2023秋?北碚区期中）下列图形都是由相同大小的星星按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有5颗星星，第②个图形中一共有7颗星星，第③个图形中一共有11颗星星，第④个图形中一共有17颗星星…按此规律排列下去，第⑧个图形中星星的颗数为（）

A．47 B．56 C．61 D．77

【变式3-1】（2024春?中原区月考）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1、2、1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1、3、3、1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b2展开式中的系数等等．

（1）根据上面的规律，（a+b）5＝；

（2）求（a+b）10展开式中各项的系数和；

（3）若今天是星期二，经过2100天后是星期几．

【变式3-2】（2021秋?姑苏区期末）如图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成．

（1）请在方格纸中，画出图（2）几何体的俯视图和左视图．

（2）按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是，第n个叠放的图形中，小正方体木块总数应是；

（3）若露在外面的面都涂上颜色（底面不涂），小正方体的棱长为1，则第（3）个叠放的图形中，涂上颜色