2025人教版五年级下册强基奥数讲义第2讲：位值原则.docx

位值原则（五年级第2讲）

【内容简介】

同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同。也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。例如“5”，写在个位上，就表示5个一；写在十位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百；等等。这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原则。

我们通常使用的是十进制计数法，其特点是“满十进一”。就是说，每10个某一单位就组成和它相邻的较高的一个单位，即10个一，叫做“十”，10个十叫做“百”，10个百叫做“千”，等等。写数时，从右端起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，等等（见下图）。

用阿拉伯数字和位值原则，可以表示出一切整数。例如，926表示9个百，2个十，6个一，即926=9×100+2×10+6。根据问题的需要，有时我们也用字母代替阿拉伯数字表示数，如：abc表示??个百，??个十，??个一。其中??可以是1～9中的数码，但不能是0，??和??是0～9中的数码。abc上面的横线表示这是用位值原则表示的一个数，用以区别??????=??×??×??。

下面，我们利用位值原则解决一些整数问题。

【例1】

证明：当????时，abc?cba

【分析与解答】

证明：abc=100??+10??+??

cba

abc?cba=100??+???100???

=99×(?????)

因为99能被9整除，所以abc?cba

在例1中，因为abc和cba的数字顺序恰好相反，所以称cba为abc的反序数，当然abc也是cb

【小结】

熟练掌握运用位值原则拆分表示整数的方法，是解决此类问题的基本思路。本题运用位值原则对用字母表示的两个数拆分后再整理计算，最后得到abc?cba

【例2】

有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数相差666。求原来的两位数。

【分析与解答】

由位值原则知道，把数码1加在一个两位数前面，等于加了100；把数码1加在一个两位数后面，等于这个两位数乘10后再加1。

解：设这个两位数为??。由题意得到：

(10??+1)?(100+??)=666

10??+1?100???=666

10?????=666?1+100

9??=765

??=85

答：原来的两位数是85。

【小结】

根据位值原则找到这个两位数两次变化后值之间的关系，得到对应的等量关系是解本题的关键。本题将这个两位数看成一个整体设为未知数??，使得解答过程更加简洁方便。

【例3】

??,??,??是1～9中的三个不同的数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是(??+??+??)的多少倍？

【分析与解答】

用??,??,??组成的六个不同数字是:abc，acb，bac，bca，cab，cba。这六个数的和等于将六个数的百位、十位、个位分别相加，得到

abc+acb+bac+bca+cab+cba

=100×(??+??+??+??+??+??)+10×(??+??+??+??+??+??)+(??+??+??+??+??+??)

=200×(??+??+??)+20×(??+??+??)+2×(??+??+??)

=222×(??+??+??)

所以，六个数的和是(??+??+??)的222倍。

【小结】

本题需要熟练掌握位值原则，首先需要先将用??,??,??组成的不重复的六位数先写出来，再根据位值原则将这六个数的百位、十位、个位分别相加，对算式进行整理计算后，得到这六个数的和是(??+??+??)的222倍。

【例4】

用2，8，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？

【分析与解答】

由例3知，可以组成的六个三位数之和是（2+8+7）×222，所以平均值是（2+8+7）×222÷6=629。

【小结】

本题是例3结论的应用，首先运用例3结论得到用2，8，7三张数字卡片组成的不同的三位数的总和，再除以6得到所有这些三位数的平均值。

【例5】

一个两位数，各位数字的和的5倍比原数大6，求这个两位数。

【分析与解答】

设这个两位数为ab，则有

(??+??)×5?(10??+??)=6

5??+5???10?????=6

4???5??=6

当??=4,??=2或??=9,??=6时，4???5??=6成立，所以这个两位数是24或69。

【小结】

本题运用位值原则设这个两位数为ab，使得解题过程更加清晰。根据题意得到对应的等量关系，运用位值原则拆分整理后得到等式4???5??=6，进一步计算尝试可以得到当??=4,??=2或??=9,??=6时，4???5??=6成立，从而得到答案。

【例6】将一个三位数的数字重新排列，在所得到的三位数中，用最大的减去最小的，正好等于