2025人教版五年级下册强基奥数讲义第5讲：用等量代换求面积.docx

用等量代换求面积（五年级第5讲）

【内容简介】

一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。

【例1】

两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。

【分析与解答】

阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）×2÷2=17（cm2）。

所以，阴影部分的面积是17平方厘米。

【小结】

有时候直接求阴影图形面积会缺少一些必要条件，这时候就可以寻找是否用相等的量去代替，这种数学思想就叫做等量代换。除以以外，还需要留意图形与图形之间的重叠部分。重叠的部分可以同时减去，达到图形转化的目的。在这题里面，我们就把S△ABC＝S△DEF转化为S阴＝SCOEF。

【例2】

在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10cm2，求平行四边形ABCD的面积。

【分析与解答】

因为阴影部分比三角形EFG的面积大10平方厘米，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10平方厘米。

所以平行四边形ABCD的面积等于10×8÷2+10=50（cm2）。

【小结】

这道题用到了差不变的性质，把阴影部分的面积转化为了平行四边形的面积，△EFG的面积转化为△EBC的面积。把原本是阴影部分和△EFG之间的关系转化为了平行四边形与△EBC的关系。

有时候单看一个图形缺少条件时，可以和其他图形组合起来看，像这题就把阴影部分和梯形BCGF组合起来转化为平行四边形。

【例3】

在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18平方厘米。求ED的长。

【分析与解答】

求ED的长，需求出EC的长；求EC的长，需求出直角三角形ECB的面积。因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18平方厘米，这两个三角形都加上四边形FDCB后，其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18平方厘米。也就是说，只要求出梯形ABCD的面积，就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长，从而求出ED的长。

梯形ABCD面积=（8+4）×6÷2=36（cm2），

三角形ECB面积=36-18=18（cm2），

EC=18÷6×2=6（cm），

ED=6-4=2（cm）。

【小结】

这道题也是用到了差不变的性质，△AFB和△EFD很明显是求不出来的，这时候我们就需要和旁边的四边形BCDF组合起来看，利用差不变的性质把△AFB－△EFD转化为梯形ABCD－△BCE。

【例4】

下图中，ABCD是7×4的长方形，DEFG是10×2的长方形，求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。

【分析与解答】

直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差，不太容易做到。如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了。

解法一：连结B，E（见左下图）。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO，则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。所求为4×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3。

解法二：连结C，F（见右上图）。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO，则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。所求为4×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3。

解法三：延长BC交GF于H（见下方左上图）。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形COFH，则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差。所求为（4+2）×（10-7）÷2-2×（10-7）=3。

解法四：延长AB，FE交于H（见右上图）。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形BHEO，则原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之差。所求为4×（10-7）-（10-7）×（4+2）÷2=3。

【小结】

这道题也是用到了差不变的性质，但是△BCO和△EFO除了求不出来以外，而且不做辅助线的情况下也用不了差不变的性质。这时候就需要做辅助线构建一个这两个图形都能转化的区域，不管是哪种辅助线的画法，