数学达标训练：平面向量数量积的物理背景及其含义.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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基础?巩固

1。若｜a|=4，|b｜=3，a·b=—6，则a与b的夹角等于(）

A.150°B。120°C。60°D。30°

思路分析:因为a·b=|a|｜b｜cosθ，所以cosθ=.

∴θ=120°.

答案:B

2。若向量a与b的夹角为60°，|b|=4，(a+2b)·（a—3b）=-72，则向量a的模为(）

A.2B。4C。6D。12

思路分析：将（a+2b）·（a—3b)=—72展开，

即a2+2a·b—3a·b-6

∴|a｜2—a·b—6｜b｜2+72=0，

即｜a|2-｜a｜｜b|cos60°—24=0。

∴|a｜2—2｜a|-24=0，解得|a｜=6或|a|=—4(舍去)。

故｜a|=6。

答案：C

3。已知a、b是非零向量且满足（a—2b)⊥a，(b—2a)⊥b，则a与

A。B.C。D.

思路分析:∵（a-2b）⊥a,∴（a—2b）·a=0，即｜a｜2-2a·

又∵（b-2a）⊥b，∴（b-2a）·b=0，即|b|2—2

由①②知|a｜=｜b|,a·b=｜a｜2=|b|2，

∴cos〈a,b=。∴a与b的夹角为。

答案：B

4。设a、b、c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题:①(a·b）c—（c·a）b=0；②｜a|—｜b｜〈｜a—b|;③（b·c)a-(c·a)b不与c垂直；④(3a+2b）·（3a-2b）=9｜a|2—4｜b｜

A。①②B.②③C.③④D.②④

思路分析:①错误，因向量的数量积不满足结合律.

③错误,因［(b·c)a-(c·a）b]·c=（b·c)(a·c)-(c·a)（b·c)=0，

则(b·c)a-(c·a）b与c垂直.

②④都是正确的.

答案:D

综合?应用

5。若O为△ABC所在平面内一点，且满足(-）·(+—2)=0，则△ABC的形状为(）

A。正三角形B.直角三角形

C。等腰三角形D。A、B、C均不是

思路分析：由,得·（+）=0，

又∵=—，∴(—）·(+）=0,

即|｜2-｜|2=0。∴||=|｜。∴△ABC为等腰三角形。

答案：C

6.已知平面上三点A、B、C满足｜|=3,||=4,｜｜=5，则·+·+·的值等于___________.

思路分析：∵||2+|｜2=｜｜2，

∴∠B=90°cos∠ABC=0，cos∠BAC=，cos∠BCA=.

∴原式=3×4×0+4×5×(—）+3×5×（)=-25。

答案:-25

7.已知a、b为非零向量，当t=__________时，a+tb(t∈R)的模取最小值.

思路分析:由｜a+tb|2=t2｜b｜2+2ta·b+｜a|2是关于t的二次式，

∴当t=时，a+tb的模取最小值,即.

答案：

8。已知|a｜=4，｜b|=5，当（1）a∥b，（2)a⊥b,（3）a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积.

解:（1）a∥b,若a与b同向,则θ=0°,

∴a·b=|a||b｜cos0°=4×5=20。

若a与b反向,则θ=180°，

∴a·b=|a｜|b｜cos180°=4×5×（-1)=—20。

（2）当a⊥b时，θ=90°,a·b=｜a｜|b|cos90°=0。

（3）当a与b的夹角为30°时，a·b=｜a|｜b|cos30°=4×5×=。

回顾?展望

9.已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.

(1）求证：(a—b)⊥c；

（2）若｜ka+b+c|〉1(k∈R),求k的取值范围.

思路分析：证明向量垂直问题,一般考虑利用向量的数量积为零。要解决模的问题，往往转化成与模平方有关的问题来解决.

（1）证明：∵｜a|=|b｜=|c|=1且a、b、c之间的夹角均为120°，

∴（a-b)·c=a·c—b·c=|a||c|cos120°—|b||c|cos120°=0.

∴(a-b）⊥c.

(2)解：∵|ka+b+c｜1，∴（ka+b+c）·(ka+b+c)〉1，

即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c

∵a·b=a