数学达标训练：平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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更上一层楼

基础?巩固

1。若向量a=（3，2）,b=(0，-1），则向量2b—a的坐标是()

A.(3，-4)B。(—3，4）C.（3，4）D。（—3，—4）

思路分析:2b-a=2(0，-1）-（3，2)=（0，-2）—(3，2）=（-3，-4).

答案：D

2。设a=(—1，2），b=（—1，1)，c=(3，-2)，用a、b作基底，可将向量c表示为c=pa+qb，则(）

A。p=4,q=1B。p=1,q=-4

C。p=0,q=4D。p=1，q=4

思路分析：由（3,—2)=p（-1，2)+q（—1，1)=(-p—q,2p+q),

所以.解得p=1，q=-4.

答案：B

3。已知ABCD中，=(3,7)，=（—2，3），对角线AC、BD交于点O，则的坐标为(）

A.（，5)B。(,5）C。(，—5）D。(，-5)

思路分析：如图所示，=+=(-2，3）+(3，7)=(1,10）.

∴==(，5）。∴=(-，—5）。

答案:C

4。平面直角坐标系中，O为坐标原点.已知两点A(3，1),B(—1,3），若点C满足=α+β,其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为（）

A.3x+2y-11=0B.(x-1）2+（y-2)2=5

C。2x-y=0D.x+2y-5=0

思路分析：设C(x，y)，=（x，y)，由=α+β，

∴=(x，y)=α（3，1)+β（—1，3）=(3α—β，α+3β)。

∴

又∵α+β=1，β=1—α，代入①②得

③+2×④整理得x+2y-5=0.

这就是C点的轨迹方程。

答案：D

5。已知边长为单位长的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴的正向上，则向量2+3+的坐标为_________。

思路分析:根据题意建立坐标系如图。

则A（0，0)，B（1，0），C(1，1),D(0，1）.

∴=（1，0），=（0，1），=(1，1）.

∴2+3+=(2，0)+(0，3)+(1，1)=（3，4）.

答案:(3，4)

综合?应用

6。若对n个向量a1,a2，…，an，存在n个不全为零的实数k1，k2，…,kn，使得k1a1+k2a2+…+knan=0成立，则称向量a1，a2，…，an为“线性相关”。依此规定,能说明a1=(1，0),a2=（1，-1），a3=（2，2)“线性相关”的实数k1、k2、k

思路分析:据题意，可知k1a1+k2a2+k3a3

即k1(1，0）+k2(1，-1)+k3(2，2)=（0，0）。

∴令k2=2,则k3=1，k1=-4。

答案：—4，2,1

7.已知A（-1，2），B(2，8)，=3，=—3，求点C、D和向量的坐标.

解：∵=（2，8)-(-1,2）=(3，6）,

∴=3=（9，18)。

∴=+=(-1，2）+(9，18)=（8，20),

即C点坐标为(8，20).

又=—3=-3（-3，-6)=（9，18)，

∴=(-1,2)-（9，18)=(—10，—16)，

即D点坐标为(-10,—16）。

=(-10，-16)-(8，20）=(-18,—36).

8。如图2—3-23,已知O是△ABC内一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°。设=a，=b，=c，且|a|=2，|b｜=1,｜c｜=3，试用a和b表示c。

图2—3-23

解：以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立如图所示直角坐标系。

由｜|=2，∴=(2，0）。

由∠AOB=150°，根据三角函数的定义可求出B点坐标xB=1·cos150°=，yB=，

∴B(）,即=（）。

同理，∠AOC=150°+90°=240°,

∴xC=3×cos240°=，yC=3×sin240°=.

∴C(，），即=（,)。

设=m+n,则（,）=m(2，0）+n（,），

得解得

∴，即c=—3a-b。

9。如图2-3-24，已知平面上三点A、B、C的坐标分别为(-2，1）、（-1,3）、（3,4），求点D的坐标，使得这四点能构成平行四边形的四个顶点。

图2—3-24

思路分析：本题没有指明所构成的平行四边形的顶点顺序，故应分三种