数学达标训练：两角和与差的正弦、余弦、正切公式.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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基础?巩固

1.tan10°·tan20°+（tan10°+tan20°)的值等于（)

A。B.1C.D.

思路分析：∵，∴tan10°+tan20°=（1-tan10°·tan20°).

∴原式=tan10°·tan20°+1-tan10°·tan20°=1。

答案:B

2.若sin（α-β）cosα—cos（α-β)sinα=m，且β为第三象限角，则cosβ的值为(）

A.B。C.D.

思路分析:由条件，得sin［（α—β)—α]=sin（—β)=-sinβ=m，∴sinβ=—m。

又∵β为第三象限角,∴cosβ=.

答案：B

3.若tanθ=，则cos2θ-sin2θ的值等于(）

A.B。C。D。

思路分析:∵sin2θ=sin(θ+θ)=2sinθcosθ，tanθ=，

∴原式=。

答案：C

4.若tan（α+β）=,tan(β—)=，那么tan（α+)等于（)

A。B.C。D。

思路分析：tan（α+）=tan［(α+β)—（β—)］

。

答案:B

5。函数y=2sin(—x)-cos(+x），(x∈R）的最小值是__________。

思路分析：y=2sincosx—2cossinx-coscosx+sinsinx

=cosx-sinxcosx+sinx=cosxsinx=cos（x-)。

所以函数的最小值为—1。

答案:-1

6。设tanα=，tanβ=，α、β均为锐角，则tan(α+2β）=_________。

思路分析：∵tanβ=，∴tan2β=tan（β+β)=。

又∵tanα=，∴tan（α+2β）=.

答案：1

综合?应用

7.已知锐角三角形ABC中，sin（A+B）=,sin(A-B)=，

（1)求证：tanA=2tanB;

(2)设AB=3,求AB边上的高.

（1)证明：∵sin(A+B)=,sin（A-B)=，

∴.

∴tanA=2tanB。

(2）解:∵＜A+B＜π,sin（A+B）=，∴tan(A+B）=，

即，将tanA=2tanB代入上式并整理得

2tan2B-4tanB—1=0.

解之,得tanB=,舍去负值得tanB=。

∴tanA=2tanB=.

设AB边上的高为CD，则AB=AD+DB=。

由AB=3，得CD=。所以AB边上的高等于。

8.重量为G的小车在地面上，卷扬机通过定滑轮牵引着它（如图3-1-8），小车和地面间的动摩擦因数为μ，问牵引角φ等于多大时,用力最小？

图3—1—8

思路分析：作出小车的受力分析如右图,由平衡条件得关于各力的方程，消元求解即可。

解:由小车的受力分析可得

解得。

要使F最小，分母应最大，即cos(α—φ）=1，α=φ.

又tanα=μ，所以当φ=arctanμ时,F最小，最小值为Fmin==Gsinα=Gsinφ.

9.tanα、tanβ是方程x2—3x—3=0的两个根,试求sin2(α+β)—3sin（α+β)cos(α+β）—3cos2（α+β）的值.

思路分析:本题考查同角三角函数基本关系式和两角和与差的正切公式的应用。在解题过程中,要利用两角和的正切公式统一角，再用同角三角函数间的基本关系统一函数。在解决三角函数问题里,常需要遵循这样的原则：化简、计算、证明。

解:由已知tanα、tanβ是方程x2-3x—3=0的两个根，根据韦达定理，有

tanα+tanβ=3，tanα·tanβ=-3。

所以tan(α+β)=.

所以sin2（α+β)-3sin（α+β）cos(α+β)—3cos2(α+β）

〔分子、分母同时除以cos2（α+β)可得此式〕

.

10.如图3-1—9，扇形薄铁板的半径是1m，中心角为60°，四边形PQRS是扇形的内接矩形，如何截取才能使得矩形PQRS的面积最大？

图3—1-9

思路分析：可以设∠POS=α,然后将矩形的两边用α的三角函数式来表示,经过适当变形转化成一个三角函数,进而求出最大面积。

解:令∠POS=α，在Rt△POS中，PS=OP·sinα=sinα，OS=OP·cosα=cosα；

在Rt△ROQ中,OR=QR·cot60°=QR=PS=sinα.

RS=OS—OR=cosα—sinα.

S矩形=PS·