2024中考数学常见几何模型归纳总结—圆中的重要模型之定角定高模型、米勒最大角模型.pdfVIP

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中考数学常见几何模型归纳总结圆中的重要模型之定角定高模型、米勒

最大角模型

圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模

型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值相结合，

综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际上，这样的

问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆的特性来探究

最值情形。而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也可以与轨迹长结合

考查，综合性较强、难度较大。

模型1.米勒最大张角（视角）模型

【模型解读】已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，

∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。

米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC

的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。

【模型证明】如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB

是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。

’’’

在三角形AC’D中，ADBACD+DACADBACD

’

又ACBADBACBACD

【解题关键】常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒

问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解

题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。

例．（广东珠海九年级统考期末）如图，在足球训练中，小明带球奔向对方球门，仅从射门角度

12023··PQ

大小考虑，小明将球传给哪位球员射门较好（）

A．甲B．乙C．丙D．丁

【答案】D

【分析】根据同弧所对的圆周角相等，得出PAQPDQPCQ，根据三角形外角的性质得出

PABAQBB,AEQPCQCPE，得出PEQ最大，进而即可求解．

【详解】解：如图所示，

∵PAQPDQPCQ，PABAQBB,AEQPCQCPE

∴PEQ最大，∴小明将球传给丁球员射门较好，故选：．

D

【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．

例．（四川宜宾校考二模）如图，已知点、的坐标分别是0,1、0,3，点为轴正半轴上一

22023··ABCx

动点，当ACB最大时，点的坐标是（）

C

A．2,0B．3,0C．2,0D．1,0

【答案】B

ABPPxCACB

【分析】过点、作，点与轴相切于点时，利用圆周角大于对应的圆外角得到此时最

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