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专题03解决角平分线问题的四种途径

1．如图，在AB∥CD中，∠AEC＝40°，CB平分∠DCE，则∠ABC的度数为（）

A．10° B．20° C．30° D．40°

2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为（）

A． B． C． D．

3.如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为（）

A. B. C. D.

4．如图，AB∥CD，CB平分∠ECD，若∠B＝26°，则∠1的度数是．

5.如图，在△ABC中，AC＝4，∠A＝60°，∠B＝45°，BC边的垂直平分线DE交AB于点D，连接CD，则AB的长为_________________．

6.已知，如图1，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在中，是的内角平分线，则的边上的中线长的取值范围是________

7．如图，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，且OC恰好平分∠EOB，则∠AOD＝度．

8.如图，是的角平分线．若，则点D到的距离是_________．

9．四边形ABCD是平行四边形，AB＝6，∠BAD的平分线交直线BC于点E，若CE＝2，则?ABCD的周长为．

10．已知菱形ABCD的面积为2，点E是一边BC上的中点，点P是对角线BD上的动点．连接AE，若AE平分∠BAC，则线段PE与PC的和的最小值为，最大值为．

11．如题图，在中，，作的垂直平分线交于点，延长至点，使．

（1）若，求的周长；

（2）若，求的值．

12.如图，中，，的平分线交于D，交的延长线于点E，交于点F．

（1）若，求的度数；

（2）若，求的长．

13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC分别相切于点E，F，BO平分∠ABC

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若BE＝AC＝3，⊙O的半径是1，求图中阴影部分的面积．

14．在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD．

【探究发现】

（1）如图①，若∠BAD＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°．求证：AD+AB＝AC；

【拓展迁移】

（2）如图②，若∠BAD＝120°，∠ABC+∠ADC＝180°．

①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由；

②若AC＝10，求四边形ABCD的面积．

专题03解决角平分线问题的四种途径（解析版）

1．如图，在AB∥CD中，∠AEC＝40°，CB平分∠DCE，则∠ABC的度数为（）

A．10° B．20° C．30° D．40°

【答案】B

【解析】由两直线平行，内错角相等得到∠ECD＝40°,由角平分线的定义得到∠BCD＝20°,最后根据两直线平行，内错角相等即可得解．

∵AB∥CD，∠AEC＝40°，

∴∠ECD＝∠AEC＝40°,

∵CB平分∠DCE，

∴∠BCD＝∠DCE＝20°,

∵AB∥CD,

∴∠ABC＝∠BCD＝20°.

2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为（）

A． B． C． D．

【答案】B．

【解析】根据勾股定理求出AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠QBD＝∠BDQ，得到QB＝QD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．

∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，

∴AC＝＝3，

∵PQ∥AB，

∴∠ABD＝∠BDQ，又∠ABD＝∠QBD，

∴∠QBD＝∠BDQ，

∴QB＝QD，

∴QP＝2QB，

∵PQ∥AB，

∴△CPQ∽△CAB，

∴＝＝，即＝＝，

解得，CP＝，

∴AP＝CA﹣CP＝．

【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

3.如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】先利用正方形的性质得到，，，利用角平分线的定义求得，再证得，利用全等三角形的性质求得，最后利用即可求解．

【详解】∵四边形是正方形，

∴，，，

∵平分交于点，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∴，

故选：C

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．

4．如图，AB∥CD，CB平分∠ECD，若∠B＝26°，则∠1的度数是．

【答案】52°．

【解析】根据平行线的性质得出∠B＝∠BCD＝26°，根