专题5.6 二次函数的最值问题（压轴题专项讲练）（苏科版）（原卷版）.pdfVIP

专题5.6二次函数的最值问题

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【典例1】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax+bx+a﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝1．

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（1）求抛物线y＝ax+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标

（2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值

（3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值．

【思路点拨】

（1）利用x=−求得a和b的关系，再将其代入原解析式即可；

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（2）分两种情况讨论，利用抛物线的对称性即可求解；

（3）分类讨论，利用二次函数的性质求解即可．

【解题过程】

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解：（1）将x＝1代入抛物线y＝ax+bx+a﹣4得，

y＝a+b+a﹣4＝2a+b﹣4，

∵对称轴是直线x＝1．

∴−=1，

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∴b＝﹣2a，

∴y＝2a+b﹣4＝2a﹣2a﹣4＝﹣4，

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∴抛物线y＝ax+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣4）

（2）①a＜0时，抛物线开口向下，y的最大值是﹣4，

∵当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，

∴a＜0不合题意

②a＞0时，抛物线开口向上，

∵对称轴是直线x＝1.1到﹣2的距离大于1到3的距离，

∴x＝﹣2时，y的值最大，

∴y＝4a﹣2b+a﹣4＝5a﹣2b﹣4＝5，

将b＝﹣2a代入得，a＝1

（3）①t＜0时，

∵a＝1，

∴b＝﹣2a＝﹣2，

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∴y的最大值是m＝t﹣2t+1﹣4＝t﹣2t﹣3，最小值是n＝（t+1）﹣2（t+1）﹣3，

∵m﹣n＝3，

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∴t﹣2t﹣3﹣[（t+1）﹣2（t+1）﹣3]＝3，解得：t＝﹣1

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②≤t＜1时，

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∴y的最大值是m＝（t+1）﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝﹣4，

∵m﹣n＝3，

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∴（t+1）﹣2（t+1）﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±3（不成立）

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③0＜t≤时，

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y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝﹣4，

m﹣n＝t2﹣2t﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±3+1（不成立）

④t≥1时，

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∴y的最大值是m＝（t+1）﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝t﹣2t﹣3，

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m﹣n＝（t+1）﹣2（t+1）﹣3﹣（t﹣2t﹣3）＝3，解得：t＝2

综上，t的值为﹣1或2．

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1．（2022•碑林区校级三模）已知二次函数y＝﹣x+bx+c，当x≤0时，函数的最大值为1；当x＞0时，函

数的最大值为2，则b+c的值为（）

A．3B．1C．﹣3