上海市上海大学附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷.docxVIP

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上海市上海大学附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．幂函数的定义域为.

2．已知直线1过点，且它的一个法向量，则该直线的一般式方程为

3．设，则__________

4．设等比数列满足，，则.

5．已知两个正数，的几何平均值为1，则的最小值为．

6．已知、，设点、在平面上的投影分别为、，则向量的坐标为

7．已知，且与的终边关于原点对称，则的取值范围为.

8．从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为4的概率为（用最简分数表示）

9．已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数的取值范围是.

10．对24小时内降水在平地上的积水厚度进行如下定义：

0~10

10~25

25~50

50~100

①小雨

②中雨

③大雨

④暴雨

小明用了一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于等级．（只填入雨水等级所对应的序号）

11．平面直角坐标系中，动圆与轴交于，两点，与轴交于，两点，若与均为正常数，则的圆心轨迹在图形上（写出所有的正确序号）.

（1）两条直线；（2）圆；（3）椭圆；（4）双曲线；（5）抛物线

12．我们称（为正整数）元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则

二、单选题

13．已知，，则“”是“等号成立”的（???）

A．充分非必要条件； B．必要非充分条件；

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

14．设，是两个平面，，，是三条直线，则下列命题为真命题的是（????）

A．若，，，则

B．若，，，则

C．若，，，则

D．若，，则

15．对于一个古典概型的样本空间和事件、、、，其中，，，，，，，，则（????）（注：表示集合的元素个数）

A．与不互斥 B．与互斥但不对立

C．与互斥 D．与相互独立

16．设，集合，集合，对于集合B有下列两个结论：①存在a和b，使得集合B中恰有5个元素；②存在a和b，使得集合B中恰有4个元素．则下列判断正确的是（????）

A．①②都正确 B．①②都错误 C．①错误，②正确 D．①正确，②错误

三、解答题

17．已知向量，.设.

(1)求函数的最小正周期以及单调增区间；

(2)在中，角、、所对的边分别为、、.若，，的面积为，求边的长.

18．如图，在直三棱柱中，，，，是棱上的一点.

(1)若，求异面直线与所成的角的大小；

(2)，求点到平面的距离.

19．已知函数.

（1）设是图象上的两点，直线斜率存在，求证：；

（2）求函数在区间上的最大值.

20．已知椭圆的下顶点为，右焦点为，离心率为，是椭圆上一动点，当直线经过点时，原点到直线的距离为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设直线与圆相交于点（异于点），关于的对称点记为，直线与椭圆相交于点（异于点）.

①若，求的面积；

②设直线、的斜率分别为、，试探究是否为定值，并说明理由.

21．已知，其中.

(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；

(2)设，函数在时取到最小值，求关于的表达式，并求的最大值；

(3)当时，设，数列满足，且，证明：.

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参考答案：

题号

13

14

15

16

答案

A

B

D

A

1．

【解析】根据函数解析式，则被开方数大于等于零，即可求出函数的定义域；

【详解】解：因为，所以，所以函数的定义域为

故答案为：

2．

【分析】由直线的法向量可求得直线的斜率，再由点斜式方程可得解.

【详解】直线1的一个法向量，则该直线的斜率为-2.直线过，

由点斜式得到直线方程为,化简得到一般方程：.

故答案为：.

3．25

【分析】根据复数的共轭概念和乘法运算即可；

【详解】，

故答案为：25.

4．

【分析】根据题设及等比数列通项公式求基本量，即可求.

【详解】令公比为，则，可得，

所以或（舍），可得，则.

故答案为：

5．

【分析】由几何平均值的定义得到，利用基本不等式求解即可.

【详