河南省许昌市第二高级中学2024-2025学年高二上学期第一次联考数学试题（解析版）.docxVIP

2024—2025年度上学期河南省高二年级第一次联考

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据关于平面对称的特征求解；

关于平面的对称点的特征为坐标不变，取相反数，

故所求坐标为.

故选：A.

2.在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用线线位置关系可得与向量平行的向量.

由长方体，可得，，

所以四边形是平行四边形，所以，同理可得，

又，分别为，的中点，所以，所以，

所以向量平行于，

因为直线与直线相交，又，所以向量不平行于，，

又直线与相交，所以向量不平行于.

故选：B.

3.在中，已知，，，则边上的中线长为（）

A. B.6 C. D.7

【答案】B

【解析】

【分析】需要先求出边的中点坐标，然后根据空间两点间距离公式来计算中线长.

已知，，根据中点坐标公式，中点的坐标为.

已知，，根据空间两点间距离公式，.

故选：B.

4.已知，分别是平面与平面的一个法向量，若，则（）

A.4 B.2 C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】若，则两平面的法向量，建立方程,即可算出.

，

，

，

.

故选：C.

5.下列命题是真命题的是（）

A.在四面体中，

B.非零空间向量与可能不共面

C.与向量共线的单位向量是

D.若，，是三个空间向量，则

【答案】D

【解析】

【分析】利用空间向量的线性运算逐项计算可判断其正误.

对于A，，故A错误；

对于B，空间中任何两个非零空间向量与均共面，故B错误；

对于C，设与共线的单位向量为，则，

所以，解得，

所以与向量共线单位向量是或，故C错误；

对于D，，故D正确.

故选：D.

6.已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据空间向量的投影向量公式计算即可.

因为是空间的一个单位正交基底，则

则，

则空间向量在方向上的投影向量为，

故选：D.

7.如图，边长为12的正方形是圆柱的轴截面，为半圆上靠近点的三等分点，则（）

A36 B.72 C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据弧度求出，根据向量的运算法则即可求解.

由图可知是中点，所以，

为半圆上靠近点的三等分点，则可知，

又因，

又因，，

所以

.

故选：B

8.如图，在正方体中，为的中点，为的中点，在线段上，则直线与平面所成角的最大值为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再根据向量夹角求出线面角的表达式，最后求利用函数性质求其最大值.

以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.

设正方体棱长为，

则，

由在线段上，设，

则.

设平面的法向量，

则，即，

令，得，

则平面的一个法向量，

设直线与平面所成角为，

则，

因为，所以当时，取最小值，

即取最大值，由，则的最大值为.

所以直线与平面所成角的最大值为.

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.如图，在正方体中，，以为单面正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.已知是直线的方向向量，则下列命题是真命题的是（）

A.是直线的一个方向向量 B.是平面的一个法向量

C若平面，则 D.若平面，则

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A，求得即可判断；对于B，求得平面的一个法向量即可判断；对于C，由已知可得，求解可判断；对于D，由已知得，求解可判断.

在正方体中，，

对于A，，所以，

所以不是直线的一个方向向量，故A错误；

对于B，，，，

设平面的一个法向量为，

则，令，则，

所以平面的一个法向量为，故B正确；

对于C，若平面，则，解得，故C正确；

对于D，若平面，则，则，故D正确.

故选：BCD.

10.如图，在正四棱锥中，，，，若，则（）

A. B. C. D.，，，四点共面

【答案】ACD

【解析】

【分析】