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第五章随机微分方程概论

金融数学

中国人民大学出版社

金融数学第五章随机微分方程概论中国人民大学出版社1/31

随机微分方程(StochasticDifferentialEquation,SDE)

通过对SDE的求解，我们可以更深刻地认识随机过程的演化规律。

随机微分方程是微分方程的扩展。随机过程函数本身的导数不可定

义，所以一般解微分方程的概念不适用于随机微分方程。

随机微分方程多用于对一些多样化现象进行建模，比如不停变动的

股票价格，部分物理现象如热扰动等。

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本章内容

1引言

2线性随机微分方程的分类

3线性随机微分方程的求解

齐次标量线性SDE的求解

狭义线性SDE的求解

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引言

SDE的例子：几何布朗运动

dS(t)=µS(t)dt+σS(t)dW(t)

其中：S(t)是随机过程；µ和σ均是常数；W(t)是标准布朗运动。该方

程在金融领域可以用来刻画股票等金融资产的价格演化。

SDE有无穷多个可能的解，为了对解加以限定，需要加入初值条件

(initialvaluecondition)，比如：S(0)=S。

0

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引言

普通微分方程dS(t)=µS(t)dt,S(0)=S

求解思路：

1采用分离变量法(separationofvariables)，将公式右侧的S(t)提到左

侧，即：

dS(t)

=µdt

S(t)

2对公式两侧取积分，可得：

∫tdS(u)=∫tµdu⇒lnS(t)−lnS(0)=µt

0S(u)0

3将初值条件代入，最终可得：

S(t)=S(0)eµt=S·eµt

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引言

几何布朗运动SDE的求解

布朗运动()

Wt是处处连续且处处不可微的，这一特征造成了我们

不能使用通常求解微分方程的相关方法对SDE进行分析和求解。

dS(t)

=µdt⇒dln[S(t)]=µdt

S(t)

dS(t)

=µdt+σdW(t)̸⇒dln[S(t)]=µdt+σdW(t)

S(t)

注意：

上式的原因在于布朗运动W(t)的二次变差不