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博罗县2024-2025学年度第一学期高二阶段性教学质量检测

数学试题

本试卷共4页，共19小题，总分150分，检测用时：120分钟

第I卷（选择题，共58分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线的倾斜角为（????）

A． B．C．D．

2．已知，，且，则实数的值为（????）

A． B．3C．4D．6

3．已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是（????）

A．B．

C．D．

4．在三棱锥中，为的中点，设，则（????）A．B．

C．D．

5．已知圆经过点，则圆在点处的切线方程为（???）

A．B．

C．D．

6．已知在圆外，则直线与圆的位置关系是（????）

A．相切B．相交C．相离D．以上皆有可能

7．已知点，过点的直线与线段（含端点）有公共点，则直线的斜率的取值范围为（???）

A．B．C．D．

8．阅读下面材料：在数轴上，方程Ax+B=0(A≠0)可以表示数轴上的点，在平面直角坐标系xOy中，方程Ax+By+C=0（A、B不同时为0）可以表示坐标平面内的直线，在空间直角坐标系O-xyz中，方程Ax+By+Cz+D=0（A、B、C不同时为0）可以表示坐标空间内的平面。过点且一个法向量为的平面的方程可表示为.若已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（???）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9．已知两条直线方程分别为与，则下列结论正确的是（????）

A．若，则B．若，则

C．若，则直线一定相交D．若，则两条平行直线之间的距离为

10．已知圆，直线，则下列选项正确的是（????）

A．直线恒过定点

B．直线被圆截得的弦长的最小值为4

C．当时，圆上到直线距离为2的点恰有三个

D．直线与圆可能相切

11．如图，正方体的棱长为1，E为棱的中点，为底面正方形内（含边界）的动点，则（???）

A．三棱锥的体积为定值

B．直线平面

C．当时，点到平面的距离为

D．当的正切值为2时，动点P的轨迹长度为

第II卷（非选择题，共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12．已知两条直线和相交，则这两条直线的交点坐标为；

13．已知，，则在上的投影向量为（用坐标表示）；

14．已知圆，为过的圆的切线，A为上任一点，过A作圆的切线AP，AQ，切点分别是P和Q，则四边形APNQ的面积最小值是．

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15．（本题满分13分）

直三棱柱中，，，

，分别是的中点．

(1)求的值；(2)求证：⊥平面．

16．（本题满分15分）

已知圆的圆心在轴上，并且过和两点．

（1）求圆的标准方程；

（2）若直线被圆截得的弦长，求直线的方程．

17．（本题满分15分）

已知直线过定点．

（1）求过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程；

（2）若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点．

（ⅰ）求实数的取值范围；

（ⅱ）若三角形的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程．

18．（本题满分17分）

平面直角坐标系中，已知圆和圆.

（1）若直线过点，且与圆相切，求直线的方程；

（2）设为直线上的点，且满足：过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等。试求满足条件的点的坐标.

19．（本题满分17分）

如图①所示，矩形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，得到图②的四棱锥，为中点．

（1）求证：平面；

（2）若平面平面，求直线与平面所成角的大小；

（3）设二面角的平面角为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值.

博罗县2024-2025学年度第一学期高二阶段性教学质量检测

数学试题参考答案

一、单项选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

B

D

A

A

B

D

A

1．C【详解】由题意可得，故.故选：C.

2．B【详解】因为，所以，解得.故选：B.

3．D【详解】直线与直线垂直，设直线的方程是

将代入直线中，，解得，故直线的方程为.

故选：D.

4．A【详解】由图可得.

故选：A.

5．A【详解】对于圆，其圆心坐标为，所以此圆的圆心.：

根据斜率公式，这里，，则.

因为圆的切线与圆心和切点连线垂直，若两条垂直直线的斜率分别为和，则.

已知，所以切线的斜率.

又因为切线过点，根据点斜式方程（这里），

可得切线方程为.整理得.故选：A.

B【详解】由题意