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7.3离散型随机变量的数字特征
考法一离散型随机变量的均值
【例1-1】(2023·山东济宁)若随机变量的分布列为
且,则的值为(????)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据所给的分布列,可得,由,可得,解得.
故选:A.
【例1-2】(2023下·高二课时练习)随机变量的概率分布为
1
2
4
0.4
0.3
0.3
则等于(????)
A.11 B.15 C.35 D.39
【答案】B
【解析】由题意得,所以,故选:B
【一隅三反】
1.(2023下·湖南长沙·高二统考期末)随机变量X的分布列如表,则的值为(????)
X
1
2
3
P
0.2
A
0.4
A.4.4 B.7.4 C.21.2 D.22.2
【答案】B
【解析】由得,
所以,
所以.
故选:B
2(2023上·全国·高三专题练习)已知随机变量的分布列为
X
1
2
3
4
5
P
0.1
0.3
0.4
0.1
0.1
则;.
【答案】2.810.4
【解析】,
.
故答案为:2.8;10.4.
3.(2023上·天津河东)设随机变量X的概率分布列为:
X
1
2
3
4
P
m
n
已知,则.
【答案】/0.5
【解析】依题意有,解得,
则.
故答案为:.
考法二离散型随机变量的方差
【例2-1】(2024上·广东广州·高二华南师大附中校考期末)随机变量有3个不同的取值,且其分布列如下:
0
1
则的值为.
【答案】/0.1875
【解析】依题意,的取值为0,1,且,,
则的期望,
所以的方差.
故答案为:
【例2-2】(2023下·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期中)已知的分布列如下表所示,设,则的值为(????)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由分布列可得,
所以,,
又因为,则.
故选:A.
【例2-3】(2023下·福建厦门·高二厦门一中校考期末)某高二学生在参加物理、历史反向学考中,成绩是否取得等级相互独立,记为“该学生取得等级的学考科目数”,其分布列如下表所示,则的最大值是(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得、的分布列如下表所示:
由分布列的性质可得,所以,,
所以,,,
所以,,
设该生物理、历史学考获得等级的概率分别为、,则有,
则,
当且仅当时取等号,所以,,
因为函数在上单调递减,
所以,.
故选:B.
【一隅三反】
1.(2024·浙江温州·统考一模)已知离散型随机变量的分布列如下表所示.
则(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由分布列可得
,
,
故选:D
2.(2023下·山西晋中·高二校考阶段练习)(多选)已知随机变量的分布列如下表所示,且满足,则下列选项正确的是(????)
0
2
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】依题意,解得,
所以的分布列为:
-1
0
2
P
则,故A正确;
则,故C正确;
所以的分布列为:
0
2
P
则,
,故B错误;
所以,故D错误.
故选:AC.
3.(2024上·河南·高三校联考期末)已知离散型随机变量X的分布列如下,则的最大值为(????)
X
0
1
2
P
a
A. B. C. D.1
【答案】C
【解析】,故,
易得,,则,
故,
,
又因为,所以.
故选:C.
考法三离散型随机变量的均值与方差综合运用
【例3-1】(2024上·江西)(多选)设离散型随机变量的分布列为:
0
1
2
3
0.4
0.3
0.2
若离散型随机变量满足,则(????)
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】由分布列的性质知,则,
故,故A正确;
,故C错误;
则,故B正确;
所以,故D正确.
故选:ABD.
【例3-2】(2023上·天津武清)有两个随机变量和,它们的分布列分别如下表:
1
2
3
4
5
0.03
0.3
0.5
0.16
0.01
1
2
3
4
5
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
则关于它们的期望,和它们的方差和,下列关系正确的是(????)
A.,且 B.,且
C.,且 D.,且
【答案】A
【解析】,
,
所以且,
故选:A
【一隅三反】
1.(2023下·浙江绍兴·高二统考期末)若数据的平均数为,方差为,则的平均数和方差分别为(????)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由期望、方差的性质知:,.故选:C
2.(2024浙江温州)已知随机变量X,Y的分布列如下:
X
1
0
Y
2
P
0.5
0.5
P
0.5
0.5
则(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】,,,,,.
故选:D.
3.
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