专题5.4 二次函数的综合（压轴题专项讲练）（苏科版）（解析版）.pdfVIP

专题5.4二次函数的综合

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【典例1】如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，抛物线y＝﹣x+bx+c经A，

C（4，﹣5）两点，且与直线DC交于另一点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，AP．试求EQ+PQ+AP的最小

值；

（3）N为平面内一点，在抛物线对称轴上是否存在点M，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形？

若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【思路点拨】

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（1）求出A点坐标后，将点A、C代入y＝﹣x+bx+c，即可求解；

（2）连接OC，交对称x＝1于点Q，此时EQ+OQ的值最小，最小值为线段OC长，再求解即可；

（3）分三种情况讨论：①以AE为菱形对角线，此时AM＝ME；②以AM为菱形对角线，此时AE＝EM；

③以AN为菱形对角线，此时AE＝AM；再利用中点坐标公式和两点间距离公式求解即可．

【解题过程】

解：（1）∵四边形ABCD为正方形，C（4，﹣5），

∴AD＝AB＝5，B（4，0），

∴OA＝1，

∴A（﹣1，0），

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将点A，C代入y＝﹣x+bx+c，

−16+4+=−5

∴−1−+=0，

=2

解得=3，

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∴抛物线的解析式为y＝﹣x+2x+3；

（2）连接OC，交对称轴x＝1于点Q，

∵PQ⊥y轴，

∴AO∥PQ，

∵AO＝PQ＝1，

∴四边形AOQP是平行四边形，

∴AP＝OQ，

∴EQ+PQ+AP＝EQ+1+OQ

若使EQ+PQ+AP值为最小，则EQ+OQ的值为最小，

∵E，C关于对称轴x＝1对称，

∴EQ＝CQ，

∴EQ+OQ＝CQ+OQ，

此时EQ+OQ的值最小，最小值为线段OC长，

∵C（4，﹣5），

∴=42+52=41，

∴EQ+PQ+AP的最小值为41+1，

即EQ+PQ+AP的最小值为41+1；

（3）存在点M，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形，理由如下：

①以AE为菱形对角线，此时AM＝ME，

−1−2=1+

∴−5=+，

4+2=9+(+5)2

=−4

解得=−2，

=−3

∴M（1，﹣3）；

②以AM为菱形对角线，此时AE＝EM，

−1+1=−2+

∴=−5，

1+25=9+(+5)2

=2=2

解得=17或=−17，

=−5+17=−5−17

∴M（1，﹣5+17）或（1，﹣5−17）；

③以AN为菱形对角线，此时AE＝AM，

−1+=−2+1

∴=−5，

1+25=4+2

=0=0

解得=22−5或=−5−22，

=22=−22

∴M（1，22）或（1，−22）；

综上所述：M点坐标为（1，﹣3），(1，22)，(1，−22)，(1，−5+17)，(1，−5−17)．