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将军饮马问题
将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题
眼）。所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离
是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现线段a+b这
样的条件或者问题。一旦出现可以快速联想到将军饮马问题，然后利用轴对称
解题。
将军饮马故事
“将军饮马”问题是数学问题中的经典题目，主要转化成“两点之间线段
最短问题”
原题：如图，一位将军，从A地出发，骑马到河边给马饮水，然后再到B
地，问怎样选择饮水的地点，才能使所走的路程最短？
•
A
•
B
模型一：一条定直线，同侧两定点
在直线l的同侧有两点A,B,在L上求一点P，使得PA+PB值最小。
一般做法：作点A（B）关于直线的对称点，连接A’B，A’B与直线交点
即为所求点。A’B即为最短距离。
理由：A’为A的对称点，所以无论P在直线任何位置都能得到AP=A’P。
所以PA+PB=PA’+PB。这样问题就化成了求A’到B的最短距离，直接相连就
可以了。
例一：某供电部门准备在输电主干线L上连接一个分支线路，分支点为M，
同时向新落成的A、B两个居民小区送电。已知两个居民小区A、B分别到主干线
的距离AA1=2千米，BB1=1千米，且A1B1=4千米。
（1）如果居民小区A、B位于主干线L的两旁，如图（1）所示，那么分支
点M在什么地方时总路线最短？最短线路的长度是多少千米？
（2）如果居民小区A、B位于主干线L的同旁，如图（2）所示，那么分支
点M在什么地方时总路线最短？此时分支点M与A1的距离是多少千米？
第1页
LL
•A•B
B’
•A••
•B’
•B
•
A’
A’
模型二：一条定直线，一定点，一动点
如图，已知直线L和定点A，在直线K上找一点B
，在直线L上找一点P，使得AP+PB值最小。
做法：做A点关于l的对称点A`点，
再过A`点做AB垂直k于B点，交l于P
点，此时AP+PB值最小。
理由：对称后，AP=A`P,A`点到直线k的
最短距离为垂线段A`B，故AP+PB的最小值为
A`B。
模型三：一定点，两条定直线
如图，在∠OAB内有一点P，在OA和OB
各找一个点M、N，使得△PMN周长最短（题
眼）。
一般做法：作点P关于OA和OB的对
称点P1、P2。连接P1P2。P1P2与OA、OB的交
点即为所求点。P1P2即为最短周长。
理由：对称过后，PM=P1M，PN=P2N。所以
PM+PN+MN=P1M+P2N+MN。所以问题就化成了求P1
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