初二期末压轴题答案及解析 .pdfVIP

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1．（2009•铁岭）△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE

是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE．

（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时．

①求证：△AEB≌△ADC；

②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；

（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立；

（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理

由．

考点：全等三角形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定。

专题：几何综合题。

分析：此题要熟练多方面的知识，特别是全等三角形和平行四边形和菱形的判定．

解答：证明：（1）①∵△ABC和△ADE都是等边三角形，

∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°．（1分）

又∵∠EAB=∠EAD﹣∠BAD，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD，

∴∠EAB=∠DAC，

∴△AEB≌△ADC．（3分）

②方法一：由①得△AEB≌△ADC，

∴∠ABE=∠C=60°．

又∵∠BAC=∠C=60°，

∴∠ABE=∠BAC，

∴EB∥GC．（5分）

又∵EG∥BC，

∴四边形BCGE是平行四边形．（6分）

方法二：证出△AEG≌△ADB，得EG=AB=BC．（5分）

由①得△AEB≌△ADC．得BE=CG．

∴四边形BCGE是平行四边形．（6分）

（2）①②都成立．（8分）

（3）当CD=CB（∠CAD=30°或∠BAD=90°或∠ADC=30°）时，四边形BCGE是菱形．（9分）

理由：方法一：由①得△AEB≌△ADC，

∴BE=CD（10分）

又∵CD=CB，

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∴BE=CB．（11分）

由②得四边形BCGE是平行四边形，

∴四边形BCGE是菱形．（12分）

方法二：由①得△AEB≌△ADC，

∴BE=CD．（9分）

又∵四边形BCGE是菱形，

∴BE=CB（11分）

∴CD=CB．（12分）

方法三：∵四边形BCGE是平行四边形，

∴BE∥CG，EG∥BC，

∴∠FBE=∠BAC=60°，∠F=∠ABC=60°（9分）

∴∠F=∠FBE=60°，∴△BEF是等边三角形．（10分）

又∵AB=BC，四边形BCGE是菱形，

∴AB=BE=BF，

∴AE⊥FG（11分）

∴∠EAG=30°，

∵∠EAD=60°，

∴∠CAD=30度．（12分）

点评：本题考查三角形的全等以及菱形的判定．

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2．点O是AC的中点，过点O的直线l与AB边

相交于点D．过点C作CE∥AB交直线l于点E，设∠AOD=α．

（1）当α等于多少度时，四边形EDBC是等腰梯形？并求此时AD的长；

（2）当α=90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．

考点：菱形的判定；等腰梯形的判定。

分析：（1）要使四边形EDBC是等腰梯形，题中已有EC∥AB，求出BC=ED，∠EDB=∠B=60°即可；

（2）当α=90°时，直线l⊥AC，可得出BC∥ED，利用角相等求出四边形EDBC为平行四边形，

再加上一组邻边相等，即BC=BD即可．

解答：解：（1）解法一：当∠α=30