04184线性代数（经管类）.docxVIP

[][单选题][简单]若A是二阶实对称矩阵，则（）

A:A有两个不同的特征值

B:A的特征多项式无重根

C:A必相似于二阶对角阵

D:A合同于单位矩阵

答案:C

解析:

[][单选题][简单]若A正定，则A与A-1（）

A:必相似

B:必合同于同一对角阵

C:必正交相似于同一对角阵

D:必相似于同一对角阵

答案:B

解析:本题主要考查的知识点为矩阵合同、相似及正定的性质．排除法．因相似矩阵必有相同的特征值，很显然A与A-1的特征值不一定相同，故选项A、C、D不对。

[][单选题][简单]设A是n阶实对称矩阵，则A正定的充要条件为（）

A:|A|gt;0

B:A的特征值全大于零

C:存在n阶矩阵C，使得A=CTC

D:负惯性指数为零

答案:B

解析:

[][简答题][简单]设ξ是非齐次线性方程组Ax＝b的一个解，η1,η2，…，ηn-r是其导出组Ax＝0的一个基础解系，证明：（1）ξ,η1,η2,…,ηn-r线性无关

答案:证明：（1）设k1η1十k2η1十k3η3＋…＋kn-rηn-r＋knξ＝0，①若kn≠0且①式成立，则ξ可由η1,η2,η3,…，ηn-r线性表示，从而ξ也是Ax＝0的解，故与ξ是Ax＝b的解矛盾，故kn＝0，由于，η1,η2,η3,…ηn-r线性无关，故k1＝k2＝…＝kn-r＝0即只有k1，k2，k3，…，kn-r，kn全为0时①式成立即证得ξ，η1，η2，…，ηn-r，线性无关

解析:证明：（1）设k1η1十k2η1十k3η3＋…＋kn-rηn-r＋knξ＝0，①若kn≠0且①式成立，则ξ可由η1,η2,η3,…，ηn-r线性表示，从而ξ也是Ax＝0的解，故与ξ是Ax＝b的解矛盾，故kn＝0，由于，η1,η2,η3,…ηn-r线性无关，故k1＝k2＝…＝kn-r＝0即只有k1，k2，k3，…，kn-r，kn全为0时①式成立即证得ξ，η1，η2，…，ηn-r，线性无关

[][简答题][简单]设A、B、E为n阶矩阵，证明：（1）若AB＝O，则r（A）＋r（B）≤n

答案:证明：（1）设r（A）＝r1，r（B）＝r2因为AB＝O，所以B的列向量均为方程组Ax＝0的解向量又因为Ax＝0的基础解系由n-r1个线性无关的解向量构成所以B中线性无关的列向量个数不能超过n－r1个即r（B）＝r2≤n-r1＝n－r（A）所以r（A）＋r（B）≤n．

解析:证明：（1）设r（A）＝r1，r（B）＝r2因为AB＝O，所以B的列向量均为方程组Ax＝0的解向量又因为Ax＝0的基础解系由n-r1个线性无关的解向量构成所以B中线性无关的列向量个数不能超过n－r1个即r（B）＝r2≤n-r1＝n－r（A）所以r（A）＋r（B）≤n．

[][单选题][简单]设三元非齐次线性方程组Ax＝b的两个解为η1＝（2，0，3）T，η2＝（1，－1，2）Tr（A）＝2，则此线性方程组的通解为

A:k1（2，0，3）T＋k2（1，－1，2）T

B:(2,0,3)T+k(1,1,1)T

C:（2，0，3）T＋k（1，－1，2）T

D:（2，0，3）T＋k（3，一1，5）T

答案:B

解析:B（Pn）本题主要考查的知识点为非齐次线性方程组的通解．由非齐次线性方程组解的性质知，η1-η2是Ax＝0的一个解，又因r（A）＝2，所以Ax＝0的基础解系中解向量个教为3－r（A）＝1，则η1-η2就是其一个基础解系．故非齐次线性方程组的通解η＝η1+k(η1-η2)，故选B

[][单选题][简单]设A为m×n矩阵，且任何n维列向量都是齐次线性方程组Ax＝0的解，则（）

A:A=0

B:r(A)=m

C:r(A)=n

D:0r(A)n

答案:A

解析:本题主要考查的知识点为齐次线性方程组解的概念．由题知Aξj＝0，其中令ξj是单位矩阵E的第j列，则有AE＝0，即得A＝O故选A

[][单选题][简单]设ξ1，ξ2是齐次线性方程组Ax＝0的解，η1，η2是非齐次线性方程组Ax＝b的解，则

A:2ξ1＋3η1是Ax＝0的解

B:ξ1＋ξ2是Ax＝0的解

C:η1＋η2是Ax＝b的解

D:η1－η2是Ax＝b的解

答案:B

解析:本题主要考查的知识点为齐次与非齐次线性方程组解的性质，由齐次线性方程组解的性质知，k1ξ1＋k2ξ2是Ax＝0的解（k1，k2为任意实数）．又由非齐次线性方程组解的性质知，η1-η2是Ax＝0的解，ξ1＋η，ξ2＋η是Ax＝b的解?（η1十η2）也是Ax＝b的解．因此，只有选项B正确

[][单选题][简单]设A为n阶方阵，则齐次线性方程组Ax＝0仅有零解的充要条件为

A:A的列向量组线性相关

B:A的列向量组线性无关

C:A的行向量组线