专题29 计数原理 随机变量及其分布列（思维导图 知识清单 核心素养分析 方法归纳）-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）.docxVIP

专题29计数原理随机变量及其分布列

目录

01

思维导图

02

知识清单

03

核心素养分析

04

方法归纳

Ⅰ、计数原理

两个计数原理

(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．

(2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．

常用结论

两个计数原理的区别与联系

分类加法计数原理

分步乘法计数原理

相同点

用来计算完成一件事的方法种数

不同点

分类、相加

分步、相乘

每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事

每步依次完成才算完成这件事情(每步中的每一种方法不能独立完成这件事)

注意点

类类独立，不重不漏

步步相依，缺一不可

排列组合

1．排列与组合的概念

名称

定义

排列

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素

按照一定的顺序排成一列

组合

作为一组

2.排列数与组合数

(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，用符号Aeq\o\al(m,n)表示．

(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，用符号Ceq\o\al(m,n)表示．

3．排列数、组合数的公式及性质

公式

(1)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,?n－m?！)(n，m∈N*，且m≤n)．

(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(n?n－1??n－2?…?n－m＋1?,m！)

＝eq\f(n！,m！?n－m?！)(n，m∈N*，且m≤n)．特别地Ceq\o\al(0,n)＝1.

性质

(1)0！＝1；Aeq\o\al(n,n)＝n！.

(2)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).

常用结论

解决排列、组合问题的十种技巧

(1)特殊元素优先安排．

(2)合理分类与准确分步．

(3)排列、组合混合问题要先选后排．

(4)相邻问题捆绑处理．

(5)不相邻问题插空处理．

(6)定序问题倍缩法处理．

(7)分排问题直排处理．

(8)“小集团”排列问题先整体后局部．

(9)构造模型．

(10)正难则反，等价转化．

二项式定理

1．二项式定理

二项式定理

(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)

二项展开式的通项

Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示展开式的第k＋1项

二项式系数

Ceq\o\al(k,n)(k＝0,1，…，n)

2.二项式系数的性质

(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．

(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值．

(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n.

常用结论

1．两个常用公式

(1)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.

(2)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.

2．二项展开式的三个重要特征

(1)字母a的指数按降幂排列由n到0.

(2)字母b的指数按升幂排列由0到n.

(3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n.

Ⅱ、随机变量及其分布列的数字特征

1.离散型随机变量

一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量.其所有可能的取值都是可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.

2.离散型随机变量的分布列

一般地，若离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}，如果对任意k∈{1，2，…，n}，概率P(X＝xk)＝pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的，离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列.

X

x1

x2

…

xk

…

xn

P

p1

p2

…

pk

…

pn

3.离散型随机变量的分布列的性质

(1)pk≥0，k＝1，2，…，n；

(2)eq\o(∑,\s\