北师大高中数学选择性必修第一册1.1.1——1.1.pptxVIP

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自主预习

达标小练

[课标解读]1.理解直线的倾斜角与斜率的概念.2.掌握倾斜角与斜率的对应关

系.3.掌握过两点的直线的斜率公式以及方向向量的概念.

[素养目标]水平一：1.掌握直线倾斜角的定义(数学抽象).2.了解直线倾斜角的运算公式(数学抽象).

水平二：斜率与倾斜角的对应关系(逻辑推理).

自主预习

·知识梳理·

知识点一一次函数的图象与直线的方程

一般地，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线，它是以满足y=kx+b的每一对x,y的值为坐标的点构成的.同时函数解析式y=kx+b(k≠

0)可以看作二元一次方程.在解析几何中研究直线时，就是利用直线与方程的这种对应关系，建立直线的方程，并通过方程来研究直线的有关问题.

课前篇自主预习

1.直线的确定

在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线上的一个点和这条直线的方向.

知识点二直线的倾斜角

2.倾斜角

(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l,把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，叫作直线l的倾斜角；通常倾斜角用α表示，如图①和②所示.

①②③

(2)范围：如图③所示，当直线l与x轴平行时，它的倾斜角为0°.倾斜

角的取值范围为[0°,180°]

(3)作用：在平面直角坐标系中，直线的倾斜角刻画了直线的倾斜程度，

即用角表示直线的倾斜程度.

知识点三斜率

1.定义：直线的倾斜角的正切k表示，即k=tana.直线的斜率的取值范围是R.倾斜角是90°的直线没有斜率.

2.符号：当倾斜角0°≤a90°时，斜率k≥0,倾斜角越大，直线的斜率就越大.当倾斜角90°α180°时，斜率k0,倾斜角越大，直线的斜率就越大.

3.公式：在直线上任取两个不同点P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂)(x₁≠x₂),过

点P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂)的直线的斜率公式为

·

图示

倾斜角(范围)

α=0°

O

C

90°

α=a=90°

90°α180

斜率(范围)

k=0

k

不存在

k0

知识点四斜率与倾斜角的对应关系

定义：与直线l平行的非零向量d叫作直线l的一个方向向量.

已知直线上的点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)是直线1上不同的两点(x₁≠x₂且y₁≠y₂),则直线的方向向量为(x₂—x₁,y₂-y₁)或(1,k)

·问题初探·

1.每一条直线都有唯一的倾斜角吗?

提示：直线的倾斜角是分两种情况定义的：第一种是与x轴相交的直线；第二种是与x轴平行或重合的直线，此时构不成角，所以定义为0°,作了这

样的定义之后，就可以使平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角了.

2.是否所有直线都有斜率?斜率的几何意义是什么?

提示：不一定.当直线与x轴垂直时，直线不存在斜率.斜率决定直线相对于

x轴的倾斜程度.

3.过两点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)的所有直线都有斜率吗?

提示：不是，当x₁=x₂,y₁≠y₂时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角

为90°.

4.一条直线的方向向量是唯一的吗?

提示：不是，直线的方向向量不是唯一的.

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[例1](1)设直线l过原点，其倾斜角为α,将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°,得到直线l₁,则直线l₁的倾斜角为()

A.α+45°

B.α—135°

C.135°—α

D.当0°≤a135°时倾斜角为α+45°,当135°≤a180°时倾斜角为α—135°

课堂篇互动学习

类型

直线的倾斜角

(2)二元一次方程x+2y=0表示的直线的倾斜角是()

A.锐角B.直角

C.钝角D.平角

[解析]

(1)由倾斜角的范围知只有当0°≤a+45°180°,即0°≤a135°

时，l₁的倾斜角才是a+45°;

而0°≤a180°,所以当135°≤a180°时，l₁的倾斜角为a一135°,如图所示，故选D.

(2)通过两点作图得到二元一次方程x+2y=0表示的直线的倾斜角是钝角，故选C.

[答案](1)D(2)C

通法提炼

研究直线的倾斜角，必须明确倾斜角α的范围是0°≤α180°,否则将造成角度范围的扩大