2025年课标高考文数版习题与历届真题试卷-五年高考考点一　等差数列及其前n项和(带答案解析).docx

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6.2等差数列

五年高考

考点一等差数列及其前n项和

1.(2024全国乙,13,5分,基础性)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3=3S2+6,则公差d=.?

答案2

2.(2024课标Ⅱ,14,5分,基础性)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=.?

答案25

3.(2019课标Ⅲ,14,5分,基础性)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3=5,a7=13,则S10=.?

答案100

4.(2024新高考Ⅰ,14,5分,综合性)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为.?

答案3n2-2n

5.(2024全国甲,18,12分,综合性)记Sn为数列{an}的前n项和.已知2Snn

(1)证明:{an}是等差数列;

(2)若a4,a7,a9成等比数列,求Sn的最小值.

解析(1)证明:由已知条件2Snn

2Sn=2nan+n-n2①,当n≥2时,由①可得2Sn-1=2(n-1)·an-1+(n-1)-(n-1)2②,由an=Sn-Sn-1及①-②可得,(2n-2)an-(2n-2)an-1=2n-2,n≥2,且n∈N*,

即an-an-1=1,因此{an}是等差数列,公差为1.

(2)∵a4,a7,a9成等比数列,且a4=a1+3,a7=a1+6,a9=a1+8,∴a72=a4·a9,即(a1+6)2=(a1+3)(a

解得a1=-12,∴等差数列{an}的通项公式为an=-12+(n-1)·1=n-13,

∴Sn=(a

∵n∈N*,∴当n=12或n=13时,Sn最小,最小值为-78.

6.(2024新高考Ⅱ,17,基础性)记Sn为公差不为零的等差数列{an}的前n项和,若a3=S5,a2·a4=S4.

(1)求{an}的通项公式;

(2)求使得Snan成立的n的最小值.

解析(1)a3=S5?a1+2d=5a1+10d?4a1+8d=0?a1+2d=0?a1=-2d,①

a2·a4=S4?(a1+d)(a1+3d)=4a1+6d,②

将①代入②得-d2=-2d?d=0(舍)或d=2,

∴a1=-2d=-4,∴an=-4+(n-1)×2=2n-6.

(2)由(1)知an=2n-6,

Sn=na1+n(n-

Snan?n2-5n2n-6?n2-7n+60?(n-1)(n-6)0,

解得n1(舍)或n6,∴n的最小值为7.

7.(2024全国甲,18,12分,综合性)记Sn为数列{an}的前n项和,已知an0,a2=3a1,且数列{Sn}是等差数列.证明:{an

解析设等差数列{Sn

因为a2=3a1,S1=a

所以Sn=a1+(n-1)a1

当n≥2时,Sn-1=(n-1)2a1,

所以an=Sn-Sn-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1,

经检验,当n=1时,也满足题意,

所以an=(2n-1)a1,n∈N*,当n≥2时,an-an-1=(2n-1)a1-(2n-3)a1=2a1(常数),∴{an}是等差数列.

考点二等差数列的性质

1.(2024新高考Ⅱ,3,5分,创新性)图1是中国古代建筑中的举架结构,AA,BB,CC,DD是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中DD1,CC1,BB1,AA1是举,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相邻桁的举步之比分别为DD1OD1=0.5,CC1DC

图1

图2

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

答案D

2.(2024北京,8,4分,综合性)在等差数列{an}中,a1=-9,a5=-1.记Tn=a1a2…an(n=1,2,…),则数列{Tn}()

A.有最大项,有最小项B.有最大项,无最小项

C.无最大项,有最小项D.无最大项,无最小项

答案B

3.(2024浙江,7,4分,综合性)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且a1d≤1.记b1=S2,bn+1=S2n+2-S2n,n∈N*,下列等式

A.2a4=a2+a6B.2b4=b2+b6

C.a42=a2

答案D

4.(2019江苏,8,5分,综合性)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.?

答案16

5.(2018课标Ⅱ,17,12分,基础性)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.

(1)求{an}的通项公式;

(2)求Sn,并求Sn的最小值.

解析(1)设{