2025年课标高考文数版习题与历届真题试卷-五年高考考点一　导数与函数的单调性(带答案解析).docx

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3.2导数的应用

五年高考

考点一导数与函数的单调性

1.(2024全国甲,12,5分,综合性)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,则()

A.a0bB.ab0

C.ba0D.b0a

答案A

2.(2024新高考Ⅰ,7,5分,综合性)设a=0.1e0.1,b=19

A.abcB.cba

C.cabD.acb

答案C

3.(2018课标Ⅲ,9,5分,综合性)函数y=-x4+x2+2的图象大致为()

答案D

4.(2016课标全国Ⅰ,12,5分,综合性)若函数f(x)=x-13

A.[-1,1]B.-

C.-

答案C

5.(2024新高考Ⅱ,22,12分,综合性)已知函数f(x)=xeax-ex.

(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;

(2)当x0时,f(x)-1,求a的取值范围;

(3)设n∈N*,证明:112+1

解析(1)当a=1时,f(x)=xex-ex,则f(x)=xex,

当x∈(-∞,0)时,f(x)0,f(x)单调递减,

当x∈(0,+∞)时,f(x)0,f(x)单调递增.

(2)当x0时,f(x)-1,即xeax-ex-1在(0,+∞)上恒成立,

令F(x)=xeax-ex+1(x0),则F(x)0在(0,+∞)上恒成立.

易得F(0)=0,F(x)=eax+axeax-ex,F(0)=0,

F″(x)=aeax+aeax+a2xeax-ex,F″(0)=2a-1.

若F″(0)0,则F(x)必定存在一个单调递增区间(0,x0),

又F(0)=0,∴F(x)也必定存在一个单调递增区间(0,x0).

于是F(x)F(0)=0在(0,x0)上恒成立,与F(x)0矛盾,

∴F″(0)≤0,∴a≤12

∵eax≤ex2在(0,+∞)上成立,∴F(x)≤xex

故只需证xex2-e

令G(x)=xex2-e

则G(x)=ex

∵exx+1在(0,+∞)上成立,

∴ex

∴G(x)0,故G(x)在(0,+∞)上单调递减,∴G(x)G(0)=0.

∴xex2-e

故当a≤12时,xeax-ex

∴a的取值范围为-∞,1

(3)证明:构造函数h(x)=x-1x

则h(x)=1+1x

易知h(x)0,

∴h(x)在(1,+∞)上单调递增,

∴h(x)h(1)=0,

∴x-1x

令x=1+1n,则有

∴1n2+n

∴112+1+122+2+…+

原式得证.

6.(2024全国甲,20,12分,综合性)设函数f(x)=a2x2+ax-3lnx+1,其中a0.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若y=f(x)的图象与x轴没有公共点,求a的取值范围.

解析(1)f(x)=a2x2+ax-3lnx+1,x∈(0,+∞),

∴f(x)=2a2x+a-3x

∵a0,x0,∴2ax

当x∈0,

当x∈1a

∴函数f(x)在0,1a

(2)∵y=f(x)的图象与x轴没有公共点,

∴函数f(x)在(0,+∞)上没有零点,

由(1)可得函数f(x)在0,1a

∴f(x)min=f1a=3-3ln1a=3+3lna0,∴lna-1,解得a1e

7.(2024全国乙,21,12分,综合性)已知函数f(x)=x3-x2+ax+1.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标.

解析(1)由f(x)=x3-x2+ax+1可得f(x)=3x2-2x+a,对于3x2-2x+a=0,Δ=4-12a.

①当a≥13

②当a13时,Δ0,方程3x2-2x+a=0的两个根为x1=1

故当x∈-∞,1-1-3a

f(x)0,当x∈1-1-

所以f(x)在-∞,1-1

(2)设过原点的切线与曲线y=f(x)相切于点P(x0,y0),则切线的斜率为f(x0)=3x02-2x

故以点P为切点的切线方程为y=(3x02-2x0+a)(x-x0)+y0.由y0=x03-

即(x0-1)(2x02+x0+1)=0,解得x

所以切线方程为y=(1+a)x,

联立y

消去y得x3-x2-x+1=0,

即(x-1)2(x+1)=0,

∴x=1或-1,

∴公共点为(1,1+a)与(-1,-1-a).

8.(2024课标Ⅱ,21,12分,综合性)已知函数f(x)=2lnx+1.

(1)若f(x)≤2x+c,求c的取值范围;

(2)设a0,讨论函数g(x)=f(

解析设h(x)=f(x)-2x-c,则h(x)=2lnx-2x+1-c,其定义域为(0,+∞),h(x)=2x

(1)当0x1时,h(x)0;当x1时,h(x)0.所以h(x)在区间(