备战2025年高考数学各类题型真题快练作业50（带解析答案）.doc

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题组层级快练(五十)

一、单项选择题

1.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，若F是DD1的中点，则B1到平面ABF的距离为()

A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(5),5)

C.eq\f(\r(5),3) D.eq\f(2\r(5),5)

答案D

解析建立如图所示的空间直角坐标系，设E为BC中点，连接B1E，B1A，

则A(1，0，1)，B1(1，1，0)，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，1))，B(1，1，1)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0，1，0)，eq\o(B1E,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，1))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，－\f(1,2))).

∵eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(B1E,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，－\f(1,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，1))＝0，

∴eq\o(AF,\s\up6(→))⊥eq\o(B1E,\s\up6(→)).同理eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(B1E,\s\up6(→))，易证B1E⊥平面ABF，

∴平面ABF的法向量为eq\o(B1E,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，1))，

又eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(0，1，－1)，∴B1到平面ABF的距离为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB1,\s\up6(→))·\o(B1E,\s\up6(→)),|\o(B1E,\s\up6(→))|)))＝eq\f(2\r(5),5).

2．(2024·湖北宜昌一中模拟)已知三棱锥P－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC满足AB＝2eq\r(2)，∠ACB＝90°，PA为球O的直径，且PA＝4，则点P到底面ABC的距离为()

A.eq\r(2) B．2eq\r(2)

C.eq\r(3) D．2eq\r(3)

答案B

解析∵三棱锥P－ABC的所有顶点都在球O的球面上，且直径PA＝4，∴球心O是PA的中点，连接OC，则球O的半径R＝OC＝eq\f(1,2)PA＝2.过点O作OD⊥平面ABC，垂足为D，连接CD(图略)．在△ABC中，AB＝2eq\r(2)，∠ACB＝90°，∴D为AB的中点，且AD＝BD＝CD＝eq\r(2)，∴OD＝eq\r(OC2－CD2)＝eq\r(4－2)＝eq\r(2)，∴点P到底面ABC的距离d＝2OD＝2eq\r(2).故选B.

3.(2024·长沙市模拟)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上一点，且A1G＝λ(0λ2)，则点G到平面D1EF的距离为()

A．2eq\r(3) B.eq\r(2)

C.eq\f(2\r(2),3) D.eq\f(2\r(5),5)

答案D

解析本题考查点到平面的距离．

方法一：因为E，F分别为棱AA1，BB1的中点，所以A1B1∥EF.又A1B1?平面D1EF，EF?平面D1EF，所以A1B1∥平面D1EF，又G在A1B1上，所以点G到平面D1EF的距离即为点A1到平面D1EF的距离．作A1M⊥D1E，交D1E于点M，因为EF⊥平面AA1D1D，所以A1M⊥EF，又D1E∩EF＝E，所以A1M⊥平面D1EF.所以点A1到平面D1EF的距离即为A1M的长．又A1E＝1，A1D1＝2，所以D1E＝eq\r(5)，所以点G到平面D1EF的距离为A1M＝eq\f(1×2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).

方法二：连接EG，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．

则G(2，λ，2)，D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)，所以eq\o(ED1,\s\up6(→))＝(－2，0，1)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝(0，2，0)，eq\o(EG,\s\up6(→)