精品解析：山东省青岛市即墨区第一中学2024-2025学年高二上学期第一次阶段检测数学试题（原卷版）.docxVIP

高二级部第一次阶段检测数学试题

一、单选题（每题5分）

1.数列，…的一个通项公式（）

A. B. C. D.

2.直线的一个方向向量为，点为直线外一点，点为直线上一点，则点到直线的距离为（）

A.1 B.2 C.3 D.4

3.记为等差数列的前项和．若，则（）

A.25 B.22 C.20 D.15

4.如图，二面角的棱上有两点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，则二面角的大小为（）

A. B. C. D.

5.已知数列{an}的前n项和为，满足，则（）

A.4043 B.4042 C.4041 D.4040

6.如图，在三棱锥中，平面，，且，则在方向上的投影向量为（）

A. B. C. D.

7.已知等差数列，，其前项和为，若，则（）

A.0 B. C.2025 D.

8.柏拉图多面体是柏拉图及其追随者对正多面体进行系统研究后而得名几何体．下图是棱长均为1的柏拉图多面体，分别为的中点，则（）

A. B. C. D.

二、多选题（每题6分，错选0分，漏选根据选项平均得分）

9.已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，直线的方向向量为，直线的方向向量为，则（）

A.

B.

C.与相交直线或异面直线

D.在向量上的投影向量为

10.已知等差数列的首项为，公差为，其前项和为，若，则下列说法正确的是（）

A.当时，最大

B.使得成立最小自然数

C.

D.数列中的最小项为

11.给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：.规定：

①为同时与，垂直的向量；

②，，三个向量构成右手系（如图1）；

③.

如图2，在长方体中中，，，则（）

A.

B.

C.

D.

三、填空题（每题5分）

12.在等差数列中，是其前n项和，已知，，则___________.

13.已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数______.

14.如图，四棱锥的底面是梯形，平面，，，，，为线段上一个动点，且，若与平面所成的角为，则______．

四、解答题（共77分）

15.已知等差数列an的前项和为，.

（1）求数列an的通项公式；

（2）求数列的前项和.

16.如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

17.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均直角梯形，平面平面ABEF，，，，，，且．

（1）已知点G为AF上一点，且，证明：平面DCE；

（2）若平面DCE与平面BDF所成锐二面角的余弦值为，求点F到平面DCE的距离．

18.已知正项数列的前n项和为，且．

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前2n项和．

19.《瀑布》（图1）是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲.此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2）

埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形，的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为，将极点，分别与正方形的顶点连线，取其中点记为，，，如（图3）.埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图4我们构造了其中两个四棱锥与

（1）求异面直线与成角余弦值；

（2）求平面与平面的夹角正弦值；

（3）求埃舍尔体表面积与体积（直接写出答案）.