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线性规划方法;第1节线性规划及其单纯形求解方法;一、线性规划的数学模型;运输问题
假设某种物资(譬如煤炭、钢铁、石油等)有m个产地,n个销地。第i产地的产量为ai(i=1,2,…,m),第j销地的需求量为bj(j=1,2,…,n),它们满足产销平衡条件
。
如果产地i到销地j的单位物资的运费为Cij,要使总运费达到最小,可这样安排物资的调运计划:;设xij表示由产地i供给销地j的物资数量,则上述问题可以表述为:
求一组实值变量xij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n),使其满足;资源利用问题;设第j种产品的生产数量为xj(j=1,2,…,n),则上述资源问题就是:;合理下料问题;设采用Bj方式下料的原材料数为xj,则上述问题可表示为:;(二)线性规划的数学模型;;采用矩阵形式可描述为:
在约束条件
AX≤(≥,=)bX≥0
下,求未知向量,使得
Z=CX→max(min)
其中
;二、线性规划的标准形式及方法;;(二)化为标准形式的方法;;三、线性规划的解及其性质;基本解与基本可行解
在线性规划问题中,将约束方程组的m×n阶矩阵A写成由n个列向量组成的分块矩阵;如果B是A中的一个阶的非奇异子阵,则称B为该线性规划问题的一个基。不失一般性,不妨设
则称为基向量,与基向量相对应的向量为基变量,而其余的变量
为非基变量。;如果是方程组的解,则就是方程
组的一个解,它称之为对应于基B的基本解,简称基解。
满足非负约束条件的基本解,称为基本可行解。对应于基本可行解的基,称为可行基。;;(二)线性规划解的性质;线性规划解的性质
①线性规划问题的可行解集(可行域)为凸集。
②可行解集S中的点X是顶点的充要条件是基本可行解。
③若可行解集有界,则线性规划问题的最优值一定可以在其顶点上达到。
因此线性规划的最优解只需从其可行解集??有限个顶点中去寻找。
;四、线性规划问题的求解方法——单纯形法;相应地,记
目标函数记为
则对应于基B的基本解为;;;;(二)单纯形法的计算步骤;第3步,选主元。在所有大于零的检验数中选取最大的一个b0s,对应的非基变量为xs,对应的列向量为
若
则确定brs为主元项。
第4步,在基B中调进Ps,换出Pjr,得到一个新的基
第5步,在单纯形表上进行初等行变换,使第s列向量变为单位向量,又得一张新的单纯形表。
第6步,转入上述第2步。;例1:用单纯形方法求解线性规划问题;具体步骤如下:
第1步,确定初始单纯形表5.1.1。;第5步,进行初等行变换,得B2下的新单纯形表;五、应用实例:农场种植计划模型;表5.1.4不同等级耕地种植不同作物的单产(单位:kg/hm2);对于上面的农场种植计划问题,我们可以用线性规划方法建立模型。
根据题意,决策变量设置如表5.1.5所示,表中Xij表示在第j等级的耕地上种植第i种作物的面积。
3种作物的产量可以用表5.1.6表示。
;作物种类;根据题意,约束方程如下,耕地面积约束
最低收获量约束
非负约束;(1)追求最大总产量的目标函数为
调用Matlab软件系统优化工具箱中的linprog函数,进行求解运算,可以得到一个最优解(如表5.1.7所示)。在该方案下,最优值,即最大总产量为6892200kg。从表中可以看出,如果以追求总产量最大为种植计划目标,那么,玉米的种植面积在I、II、III等耕地上都占绝对优势。;表5.1.7追求总产量最大的计划方案(单位:hm2);(2)追求最大总产值的目标函数为
进行求解运算,可以得到一个最优解(
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