2025年高考数学重点题型归纳精讲精练9.8离散型随机变量及其分布列、数字特征（精练）（解析版） .docx

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9.8离散型随机变量及其分布列、数字特征

【题型解读】

【题型一分布列的性质】

1.（2024·华师大二附中高三练习）随机变量的概率分布列如下：

0

1

2

3

4

5

6

则___________.

【答案】64

【解析】根据概率分布列的概率性质可知，

所以，即，解得.

故答案为：

2.（2024·河南高三月考）已知随机变量X的分布列如表所示，则（???????）

X

1

2

3

P

a

2a

3a

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解：依题意，解得，所以；

故选：C

3．（2024·全国高三课时练习）若随机变量X的分布列如下表所示：

X

0

1

2

3

P

a

b

则a2＋b2的最小值为________．

【答案】

【解析】由分布列的性质，知，即.

因为，当且仅当时取等号.

所以的最小值为.

故答案为：

4.随机变量的概率分布满足（，1，2，…，10），则的值为___________.

【答案】1024

【解析】由题意.

故答案为：1024.

5.已知随机变量X的分布列为，，则等于（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意得：

．

故选:A

【题型二求离散型随机变量的分布列】

1.（2024·四川模拟）甲?乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率为0.5.求：

(1)在一轮比赛中，甲的得分的分布列；

(2)在两轮比赛中，甲的得分的分布列及期望.

【解析】（1）依题意可得的可能取值为，，，

所以，

，

，

所以的分布列为

0

1

（2）依题意可得的可能取值为，，，，，

所以，，，

，

，

所以的分布列为

0

1

2

0.04

0.2

0.37

0.3

0.09

所以．

2.（2024·武昌模拟）某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现挑选5名队员参加比赛，设X表示其中种子选手人数，求X的分布列．

【答案】

0

1

2

【解析】解：可取，

，

，

，

故分布列如下：

0

1

2

3．（2024·石家庄模拟）将个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号.现从中任取个球，以表示取出球的最大号码.

(1)求的分布列；

(2)求的概率.

【答案】(1)分布列见解析

(2)

【解析】(1)

由已知可得随机变量的可能取值有：，，，，

所以，，，，

所以分布列为

(2)由（1）得.

4.（2024·临沂二模）为了解决家长接送孩子放学的问题，教育部提出推行课后服务“”模式，即学校每周5天都要开展课后服务，每天至少开展2h，结束时间要与当地正常下班时间相衔接，且不得利用课后服务时间讲新课.为了课后服务的有序开展，某教育局就课后服务的时长在网络上进行意见征集，并从中随机抽取了100份调查表，以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图：

(1)从样本中随机抽取2份调查表，若其中一份调查表所建议的课后服务时长超过200min，求另一份调查表所建议的课后服务时长也超过200min的概率；

(2)为了进一步了解课后服务时长的需求情况，从样本中建议课后服务时长超过180min的人中分层抽取10人，再从这10人中任取3人，记建议课后服务时长在的人数为X，求X的分布列与数学期望.

【答案】(1)

(2)

X

0

1

2

3

P

，

【解析】(1)

依题意，课后服务时长超过200min的调查表共有（份），

设事件A为其中一份调查表所建议的课后服务时长超过200min，事件B为另一份调查表所建议的课后服务时长也超过200min，

则，，

故.

(2)根据题意及分层抽样的知识可知，抽取的10人中，建议课后服务时长在内的有6人，则X的所有可能取值为0，1，2，3，

且，，，，

所以X的分布列为

X

0

1

2

3

P

X的数学期望.

5.2024年7月，中共中央办公厅?国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》（简称“双减”政策）.某校为了落实“双减”政策，安排了25名教师参与课后服务工作，在某个星期内，他们参与课后服务的次数统计如图所示.

(1)求这25名教师在该星期参与课后服务的平均次数；

(2)从这25名教师中任选2人，设这2人在该星期参与课后服务的次数之差的绝对值为X，求X的分布列与数学期望.

【答案】(1)

(2)分布列答案见解析，数学期望：

【解析】(1)由统计图可知，25名教师中，参与课后服务2次的有4人，参与课后服务3次的有5人，参与课后服务4次的有10人，参与课后服务5次的有6人，

所以这25名教师在该星期参与课后服