数学自主广场：向量的应用.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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我夯基我达标

1.过点A（2，3）,且垂直于向量a=(2，1）的直线方程为()

A.2x+y—7=0B。2x+y+7=0

C。x—2y+4=0D。x—2y-4=0

思路解析:利用轨迹法求直线方程。设所求直线上任一点P（x，y），则⊥a,

又∵=(x-2,y-3），

∴2（x-2)+（y—3)=0，即所求的直线方程为2x+y-7=0.

答案:A

2。（全国高考卷Ⅱ，理8）已知点A（,1)，B（0，0)，C(，0）。设∠BAC的平分线AE与BC相交于E,那么有=λ,其中λ等于（）

A。2B。C.—3D。—

思路解析:思路一：在△ABC中，AC=1，BC=,AB=2.∴=2.

∴BE=2EC.∴|｜=3｜｜.∴｜λ｜=3。

又∵与方向相反，∴λ＜0.

∴λ=—3.

思路二：设E(x,0),则=(，-1）,=（x—，—1),=（0，-1).

∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠EAC。

又∵cos〈，=，cos〈，〉=,

∴=.

∴=.

∴=.解得x=。

∴E（,0).∴=（，0），=（—,0）。

∴=-3。∴λ=-3.

答案：C

3。在△ABC中,∠C=90°，=（k，1），=（2，3），则k的值是(）

A.5B.-5C。D.—

思路解析:由题意，得=（2,3）—(k,1)=（2—k，2),

∵∠C=90°,∴⊥。

∴·=0.

∴2（2-k)+3×2=0.∴k=5。

答案：A

4.一船从某河一岸驶向另一岸,船速为v1、水速为v2，已知船垂直到达对岸，则()

A.|v1|＜|v2|B。｜v1|＞｜v2|C.|v1|≤|v2｜D。|v1｜≥｜v2｜

思路解析：速度是向量，要使船垂直到达对岸，则向量v1在水流方向上的分量与向量v2大小相等，方向相反，由此即得｜v1｜＞|v2｜。

答案:B

5.（福建高考卷，理11）已知｜｜=1，|｜=,·=0，点C在∠AOC内，且∠OAC=30°.设=m+n(m，n∈R)，则等于()

A。B。3C.D.

思路解析：∵·=0,

∴⊥.

则可以设A（1，0)，B(0，），C(x,y）=（，)，

∵=m+n（m,n∈R)，∴m+n=(m,n)。

∴m=，n=，=3。

答案：B

6.（四川高考卷，理7）如图2—4—8所示，已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中最大的是()

图2-4

A。·B。·C.·D.·

思路解析:设｜|=a,∵∠P2P1P3=，|P1P3｜=a,

∴·=a·a·=。∵∠P2P1P4=，|｜=2a，

∴·=a·2a·=a2，·=0，·＜0。

∴数量积中最大的是·.

答案：A

7。（东北三校二模，14）已知向量a=（6,2)，b=(-4,），直线l过点A（3，—1)且与向量a+2b垂直，则直线l的方程为______________.

思路解析:由题意，得a+2b=(—2,3），则直线l的方程为(-2）(x-3)+3（y+1)=0，即2x-3y—9=0。

答案：2x-3y-9=0

我综合我发展

8.(上海春季高考卷，5)在△ABC中，若∠C=90°，AC=BC=4,则·=________.

思路解析:由于AC=BC，∠C=90°，则△ABC是直角三角形，｜|=4，〈,〉=45°。所以·=|｜||cos〈，〉=4×4×cos45°=16.

答案：16

9。已知三个力F1=（3，4），F2=（2，—5),F3=（x，y）的合力F1+F2+F3=0。求F3的坐标.

思路分析：把力看成向量,将F1+F2+F3=0变为坐标的形式就可以得到结论。

解：由题设F1+F2+F3=0，得(3，4）+(2,-5)+(x，y)=（0,0),

即

∴∴F3=(—5，1）。

10.用向量法证明三角形的三条高线交于一点.

思路分析：用向量证明几何问题时，往往要先选择向量基底.我们假设两条高BE、CF交于点H,再证明与垂直，即证明AH⊥BC可说明结论成立.

答案:已知：如图2-

图2

证法一：设两条高BE、CF交于点H。

设=a，=b，则=-a，=-b,=b-a。

∵⊥,⊥，∴·=0,·=0.

∴(-a)·b=0,（-b)·a=0.

∴（-a)·b=（-b）·a。

化简得·（b-a）=0，即·=0。

∴⊥。∴AH⊥BC,即A