《4.1数列的通项公式与递推公式》学案.docVIP

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§4.1.2数列的通项公式与递推公式

目标要求

1、理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列．

2、理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项．

3、会用累加法、累乘法由递推公式求通项公式．

学科素养目标

在数学中，数列的内容涉及函数、极限、级数等，它实际上是联系初等数学与高等数学的桥梁．由于数列在日常生活中广泛的应用性，以及数列在今后进一步学习数学中的基础性，奠定了本章内容在数学教学中的重要地位．

本章教材的设计，注意体现学生是学习的主体的思想．在给出大量的生活实例之后，给学生一定的思考和探索空间，促使教学方式和学习方式的改变．让学生通过观察、操作、归纳、猜想、验证、推理、讨论和交流体验数学；在习题中设置了“探究·拓展”栏目，为学有余力的学生提供一些富有挑战性的问题，进一步激发学习兴趣，拓宽视野，提高数学素养；教材设置了旁白、思考、阅读、链接等内容，为学生主动探究数学知识的产生和发展提供了空间．

重点难点

重点：根据递推公式求出数列的前几项；

难点：用累加法、累乘法由递推公式求通项公式．

教学过程

基础知识积累

1.递推公式

(1)概念：如果已知一个数列{an}的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个________来表示，那么这个________叫作这个数列的递推公式．

(2)作用：利用________通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项．

【课前预习思考】

(1)数列1，2，4，8，…的第n项an与第n＋1项an＋1有什么关系？

(2)所有的数列都有递推公式吗？

2．数列的表示方法

数列的表示方法有____________法、________法、________法、____________法，

以数列2，4，6，8，10，12，…为例，表示如下：

①通项公式法：an＝2n.

②递推公式法：

③列表法：

n

1

2

3

…

k

…

an

2

4

6

…

2k

…

④图象法：

3．数列递推公式与通项公式的关系

递推公式

通项公式

区别

表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系

表示an与n之间的关系

联系

(1)都是表示数列的一种方法；

(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式．

【课前预习思考】

仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)就能确定这个数列吗？

【课前小题演练】

题1．（多选）下列说法正确的是()

A.递推公式是表示数列的一种方法．

B.根据递推公式可以求出数列已知项以外的任意一项．

C.数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．

D.仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)就能确定这个数列

题2．符合递推关系式an＝eq\r(2)an－1(n≥2)的数列是()

A．1，2，3，4，… B．1，eq\r(2)，2，2eq\r(2)，…

C.eq\r(2)，2，eq\r(2)，2，… D．0，eq\r(2)，2，2eq\r(2)，…

题3．数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝()

A.－3B．－11C．－5D．19

题4．已知a1＝1，an＝1＋eq\f(1,an－1)(n≥2)，则a5＝________．

题5．已知数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n项和Sn＝n2＋n，则a4的值为________．

【课堂题组训练】

类型一由递推公式求数列的项(数学运算)

题6．若a1＝1，an＋1＝eq\f(an,3an＋1)，则给出的数列{an}的第4项是()

A.eq\f(1,16)B．eq\f(1,17)C．eq\f(1,10)D．eq\f(1,25)

题7．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5等于()

A.eq\f(25,9)