3.1.2椭圆的几何性质（4）直线与椭圆的位置关系- 人教A版（2019版）高中数学选择性必修一.pptxVIP

椭圆的简单几何性质(4)

直线与椭圆的位置关系

标准方程

范围

|x|≤a,|yl≤b

x|≤

对称性

关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称

顶点坐标

(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)

焦点坐标

(c,0)、(-c,0)

半轴长

长半轴长为a,短半轴长为

离心率

a,b,c的关系

复习引入

U

14

2

复习引入椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离叫做椭圆的焦半径。

y个y

M

MkF₂

|MF₁|=a+ey₀

|MF₂I=a-ey₀

MF₁I=a+ex₀

MF₂|=a—ex₀

F₁0F₂

0

Fy

交

X

3

复习练习

已知椭P为椭圆在第一象限内的点，它与两焦

点的连线互相垂直，求P点的坐标。(3,4)

思考：椭的焦点为F、F₂,点P为其上的动点，当∠F₁PF₂为钝角时，则点P的横坐标的取值范围是

设P(x,y),则I

由余弦定理，有

∵∠FPF₂为钝角：-1cos∠F₁PF₂0,即解之得

4

▶U

复习练习

思考：椭圆的焦点为F、F₂,点P为其上的动点，当∠F₁PF₂

为钝角时，则点P的横坐标的取值范围是

法二：(数形结合)以FF₂为直径的圆交椭圆于P,P₂

∴xpxpxp,而P、P₂的坐标可由

解得

U

5

●

?

能力练习

已知椭圆的焦点为Fi,F₂,在直线l:x+y-6=0

上找一点M,求以F₁,F₂为焦点，通过点M且长轴最短的椭圆方程.分析：∵椭圆的焦点为(-2,0),(2,0)

关键是怎样求出椭圆的长轴大小.

题意：直线l:x+y-6=0到两定点的距离之和最小

6

典型例题

例1如图，已知直线l:4x-5y+m=0和椭圆为何值时，直线l与椭圆C:(1)

有两个公共点?(2)有且只有一个公共点?(3)没有公共点?

分析：直线与椭圆C的公共点的个数与方程

解的个数相对应，所以，我们可以通过判断上述方程组

解的情况得到问题的解答.

解：由方程消去y,得25x²+8mx+m²-225=0.

方程①的根的判别式△=64m²-4×25×(m²-225)=36×(25²-m²).

由△0,得-25m25.此时方程①有两个不相等的实数根，直线l与椭圆C有两个不同的公共点.由△=0,得m₁=25,m₂=-25.此时方程①有两个相等的实数根，直线l与椭圆C有且只有一个公共点.由△0,得m-25,或m25.此时方程①没有实数根，直线l与椭圆C没有公共点.

课本第114页练习第1题

lU

7

直线与椭圆的位置关系：

将直线的方程y=kx+b与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关

于x或y的一元二次方程，其判别式为△.

①△0一直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点);

②△=0一直线和椭圆相切一直线和椭圆有一个切点(或一个公共点);

③△0一直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点.

总结结论平面内点与椭圆的位置关系：

椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M(x,y),

在椭圆上，则有

在椭圆内，则有在椭圆外，则有

若点M(x,y)

若点M(x,y)若点M(x,y)

8

U

弦长公式：

若直线l:y=kx+b与椭圆

AB=√(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²

=√(1+k²)[(x₁+x₂)²-4x,x₂]

课本第114页练习第2题

相交于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)两点，则

30

7

U

典型例题例2.已知椭圆5x²+9y²=45,椭圆的右焦点为F,求过点F且斜率为1的直线被椭圆