1.2空间向量基本定理 人教A版（2019版）高中数学选择性必修一(共16张PPT).pptxVIP

1.2空间向量的基本定理

复习引入

共线向量定理：

对空间任意两个向量abb≠0),a1/b的

充要条件是存在实数λ,使a=λb.

共面向量定理：

如果两个向量a,b不共线，则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在实数对x,y,使

p=xa+yb.

2

如果e,,e₂是同一平面内的两个不共线向量，

那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有

一对实数λ,2,使a=λei+λ₂e₂

(e₁、e₂叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.)

a=xi+yj

i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).

复习引入平面向量基本定理：

3

学习新知探究：类比平面向量基本定理你能得出类似的

结论吗?

空间向量基本定理：

如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量P,存在有序实数组{x,y,z}使p=xa+yb+zc.

注：如果三个向量a,b,c不共面，那么所有空间向量组

成的集合就是{PP=xa+yb+zC,x,y,z∈R},这个

集合可以看做是由向量a,b,c生成的.

故{a,b,c}叫做空间的一个基底.

a,b,c都叫做基向量

4

学习新知

特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，

还应明确：

(1)任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底.

(2)由于可视0为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.

(3)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念.

(4)空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表

示.

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若向量MA,MB,MC的起点M和终点A,B,C互不重合且无三点共线，则能

使向量MA,MB,MC成为空间一组基底的关系是

B.MA=MB+MC

c.OM=OA+OB+0cD.MA=2MB-MC

解析对于A,由结论OM=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1)→M,A,B,C四点共面知,MA,MB,MC共面；对于B,D,易知MA,MB,MC共面，故只有C中MA,MB,MC不共面

2.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若点F是侧面CC₁D₁D的中心，且AF=AD+mAB-nAA1,则m,n的值分别为(A)

C.)口

6

U

典型讲评

例1如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线

段OM上，点P在线段AN上，且

用向量OA=OB=0C表示OP.

…7

7

U

例2如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4,

AD=4,AA₁=5,∠DAB=60°,∠BAA₁=60°,∠DAA₁=60°,M,N分别为D₁C₁,C₁B₁的中点，求证MN⊥AC₁.

证明：设AB=à,AD=b,AA=己，这三个向量不共面，{à,b,t}构成空间的一个基底，我们用它们表示

所以MN。

所以MNLAC₁.

MN,AC,则

AC₁=AB+BC+CC₁=à+b+亡，

(a+b+c)

U

·

例3如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为1,E,F,G分别为CD,AD,DD的中点.

(1)求证：EF/IAC;(2)求CE与AG所成角的余弦值.

(1)证明：设DA=i,Dc=了，DD²=k,则信，了，k)构成空间的一个单位正交基底.所以,CA=DA-DC=i-j

所以CE与AG所成角的余弦值为

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所以EF//AC.

所以cosCE,

所以

学习新知我们知道，平面内的任意一个向量p都可以用两个不共线的向量a,b来表示(平面向量基本定理).对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢?

一、空间向量的正交分解

给定一个空间坐标系和向量p

且设i,j,k为空间两两垂直的向

量，设点Q为点P在i,j所确定平

面上的正投影

由平面向量基本定理有

在0Q,k所确定的平面上，存在

实数z,使得OP=0Q+zkx

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学习新知空间向量的正交分解

在0Q,k所确定的平面上，存在

实数z,使得OP=0Q+zk

在i,j所确定的平面上，存在

实数x,y,使得0Q=xi+yj

OP=0Q+zk=xi+yj+zk

由此可知，如果i,j,k是空间两两垂直的向量，那么,对空间任一