人教B版高中数学选择性必修第三册课后习题 第五章 数列 5.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用.docVIP

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5.3.1等比数列

第2课时等比数列的性质及应用

课后训练巩固提升

A组

1.已知数列{an}是等比数列,a1=2,a4=14,则公比q等于(

A.-12 B.2 C.-2 D.

解析:根据an=amqn-m,得a4=a1q3.

故q3=14×12=

答案:D

2.设等差数列{an}的公差d不为0,a1=9d.若ak是a1与a2k的等比中项,则k等于()

A.2 B.4

C.6 D.8

解析:由题意得an=(n+8)d,ak2=a1a

则(k+8)2d2=9d(2k+8)d,

解得k=4(k=-2不合题意,舍去).

答案:B

3.(多选题)已知数列{an}是等比数列,则下列数列一定是等比数列的是()

A.1an B.log2(an

C.{an+an+1} D.{an+an+1+an+2}

解析:由数列{an}是等比数列,得在A中,1an+11an=a

在B中,假设an=2n,则log2(an)2=log222n=2n,不是等比数列,B错误;

在C中,an+an+1=an(1+q),当q=-1时,数列{an+an+1}不是等比数列,C错误;

在D中,∵an+an+1+an+2=an(1+q+q2),

∴数列{an+an+1+an+2}是等比数列,D正确.

故选AD.

答案:AD

4.已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1(n∈N+),且a2+a4+a6=9,则log13(a5+a7+a9)的值为(

A.-5 B.-15

C.5 D.1

解析:根据题意log3an+1=log3an+1,

则有log3an+log33=log3an+1,

则有log33an=log3an+1,

即3an=an+1,即an+1

所以数列{an}是等比数列,公比q=3,

由等比数列的通项公式可知,log13(a5+a7+a9)=log13(a2q3+a4q3+a6q3)=log13[(a2+a4+a6)q

答案:A

5.已知等比数列{an}的公比为正数,且a3a9=2a52,a2=1,则a1=(

A.12 B.2

C.2 D.2

解析:∵a3a9=a62,∴a62=2

∵公比q为正数,∴q=2,

∴a1=a2

答案:B

6.在两数1,16之间插入三个数,使它们成等比数列,则中间的数等于.?

解析:设插入的三个数分别为a,b,c,

则b2=16,∴b=±4.

设其公比为q,

∵b=1·q20,∴b=4.

答案:4

7.已知等比数列{an}各项均为正数,且满足a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n=.?

解析:设数列{an}的公比为q,由a1a2a3=4=a13q3与a4a5a6=12=a13q12

又an-1anan+1=a13q3n-3=324,因此q3n-6=81=34=q36,

答案:14

8.已知数列{an}是等比数列,a3+a7=20,a1a9=64,求a11的值.

解:∵数列{an}为等比数列,∴a1a9=a3a7=64.

又a3+a7=20,∴a3,a7是方程t2-20t+64=0的两个根.

解方程,得t1=4,t2=16,

∴a3=4,a7=16或a3=16,a7=4.

当a3=4时,a3+a7=a3+a3q4=20,1+q4=5,q4=4.

a11=a3q8=4×42=64.

当a3=16时,a3+a7=a3(1+q4)=20,1+q4=54,q4=1

a11=a3q8=16×14

综上可知,a11的值为64或1.

9.三个互不相等的数构成等差数列,如果适当排列这三个数,又可成为等比数列,且这三个数的和为6,求这三个数.

解:由已知,可设这三个数为a-d,a,a+d,

则a-d+a+a+d=6,解得a=2,

这三个数可表示为2-d,2,2+d,

①若2-d为等比中项,则有(2-d)2=2(2+d),

解得d=6或d=0(舍去后者).

此时三个数为-4,2,8.

②若2+d为等比中项,则有(2+d)2=2(2-d),解得d=-6或d=0(舍去后者).此时三个数为8,2,-4.

③若2为等比中项,则22=(2+d)(2-d),

解得d=0(舍去后者).

综上所述,这三个数为-4,2,8或8,2,-4.

B组

1.已知数列{an}是等比数列,对任意n∈N+,都有an0,若a3(a3+a5)+a4(a4+a6)=25,则a3+a5=()

A.5 B.10 C.15 D.20

解析:在等比数列{an}中,∵对任意n∈N+,都有an0,

∴公比q0.又a3(a3+a5)+a4(a4+a6)=25,

∴a3(a3+a5)+a3q2(a3+a5)=25.

∴(a3+a3q2)(a3+a5)=(a3+a5