人教B版高中数学选择性必修第三册课后习题 第五章 数列 5.3.1 第1课时 等比数列的定义.docVIP

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5.3.1等比数列

第1课时等比数列的定义

课后训练巩固提升

A组

1.实数数列1,a,4,b2为等比数列,则a=()

A.-2 B.2 C.±2 D.±22

解析:根据题意,得a2=1×4

答案:B

2.已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=()

A.-4 B.-6 C.-8 D.-10

解析:∵a4=a1+3d=a1+6,a3=a1+2d=a1+4,a1,a3,a4成等比数列,

∴a32=a1·a4,即(a1+4)2=a1×(a

解得a1=-8,∴a2=a1+2=-6.故选B.

答案:B

3.若a1,a2,a3,a4成等比数列,其公比为2,则2a1+a

A.14 B.12 C.

解析:设数列{an}的公比为q,则2a

答案:A

4.若等比数列{an}满足anan+1=16n,则公比q为()

A.2 B.4 C.8 D.16

解析:∵anan+1=16n,∴a1a2=16,a2a3=162.

两式相除得a3a1=16,即q2=16.∴

∵anan+1=16n0,

∴an,an+1同号,即q0,∴q=4.

答案:B

5.(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-2,若存在两项am,an,使得aman=64,则下列结论正确的是()

A.数列{an}为等比数列

B.数列{an}为等差数列

C.m+n为定值

D.设数列{bn}的前n项和为Tn,bn=log2an,则数列Tn

解析:数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-2.

当n=1时,解得a1=2,

当n≥2时,Sn-1=2an-1-2,

所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,

整理得an=2an-1,即anan

所以数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列.

所以an=2·2n-1=2n.

又因为a1=S1=2,所以an=2n,选项A正确.

由于an=2n,故存在两项am,an,使得aman=64,2m+n=26,即m+n=6.选项C正确.

所以bn=log2an=n,所以Tn=1+2+3+…+n=n(n+1)2,所以Tnn

选项D正确.故选ACD.

答案:ACD

6.三个不相等的实数a,b,c成等差数列,且a,c,b成等比数列,则a∶b∶c=.?

解析:由题意得2b=a+c,①

c2=ab,②

由①得c=2b-a,③

将③代入②得a=b(舍去)或a=4b,

因此c=2b-a=2b-4b=-2b.

则a∶b∶c=4∶1∶(-2).

答案:4∶1∶(-2)

7.已知数列{an}满足a1=1,anan+an+1=13(n∈N

解析:∵anan+an+1=13,∴an+an+1an=3,∴an+1an=2.

答案:2n-1

8.已知数列{an}满足a1=78,且an+1=12an+13(n∈

(1)求证:数列an-

(2)求数列{an}的通项公式.

(1)证明:∵an+1=12an+1

∴an+1-23=12a

∴an+1

∴数列an-23是首项为524

(2)解:∵an-23

∴an=524

9.已知数列{an}的前n项和Sn=2an+1.

(1)求证:数列{an}是等比数列,并求出其通项公式;

(2)设bn=an+1+2an,求证:数列{bn}是等比数列.

证明:(1)∵Sn=2an+1,∴Sn+1=2an+1+1,Sn+1-Sn=an+1=(2an+1+1)-(2an+1)=2an+1-2an,

∴an+1=2an.

由已知及上式可知an≠0.

由an+1an=2,知数列{an

由a1=S1=2a1+1,得a1=-1,∴an=-2n-1.

(2)由(1)知,an=-2n-1,bn=an+1+2an=-2n-2×2n-1=-2×2n=-2n+1=-4×2n-1.

由bn+1bn=2,知数列{bn}是以-4为首项

B组

1.在等比数列{an}中,a1=1,公比q≠±1.若am=a1a2a3a4a5,则m等于()

A.9 B.10 C.11 D.12

解析:∵am=a1a2a3a4a5=q·q2·q3·q4=q10=1×q10,∴m=11.

答案:C

2.已知在等比数列{an}中,a2+a3a1+a2

A.31 B.32 C.63 D.64

解析:∵在等比数列{an}中,a2+a3a

∴a2

∴q2=4,a6=a4·q2=8×4=32,

∴a6=32.故选B.

答案:B

3.已知等比数列{an}的公比q1,且a2=4,2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的通项公式an=()

A.2n-1 B.2n C.2n+1 D.2n+2

解析:∵2(an+an+2)=5an+1,

∴2an+2an·q2=5an·q.

即2q