人教B版高中数学选择性必修第三册课后习题 第五章 数列 5.5 数学归纳法 (2).docVIP

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5.5数学归纳法

必备知识基础练

1.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n-3)条时,第一步验证n等于

A.1 B.2 C.3 D.0

2.用数学归纳法证明n33n2+3n+1这一不等式时,应注意n必须为()

A.n∈N+ B.n∈N+,n≥2

C.n∈N+,n≥3 D.n∈N+,n≥4

3.用数学归纳法证明1n+1+1

A.1

B.1

C.1

D.1

4.用数学归纳法证明“2n+1≥n2+n+2(n∈N+)”时,第一步的验证为.?

5.用数学归纳法证明:1+5+9+13+…+(4n-3)=2n2-n(n∈N+).

6.数列{an}的前n项和为Sn,且满足an=Sn+1Sn-2(n∈N

(1)求S1,S2,S3,S4的值;

(2)猜想数列{Sn}的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论.

关键能力提升练

7.利用数学归纳法证明1n+1n+1+1n+2

A.增加了12k+1

B.增加了12k+1

C.增加了12k+1和1

D.无变化

A.P(7)一定不成立 B.P(5)可能成立

C.P(2)一定不成立 D.P(4)不一定成立

9.已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N+,都能使m整除f(n),则最大的m的值为()

A.30 B.9

C.36 D.6

11.平面上有n条直线,它们任何两条不平行,任何三条不共点,设k条这样的直线把平面分成f(k)个区域,则k+1条直线把平面分成的区域数f(k+1)=f(k)+.?

12.已知f(n)=1+12+13+…+1n(n∈N+

(1)当n=1时,f(21)=1+12

综上所述,对任意n∈N+,都有f(2n)n2

13.用数学归纳法证明“设f(n)=1+12+13+…+1n”,则2+f(1)+f(2)+…+f(n-1)=nf(n)(n∈

14.是否存在a,b,c,使等式1n2+2n2+3n2+…+nn2=an2+bn+cn对一切n∈N+都成立?若不存在,说明理由;若存在,用数学归纳法证明你的结论.

15.(江西赣州高二期中)已知数列{an}满足a1=13,前n项和Sn=(2n2-n)an

(1)求a2,a3,a4的值并猜想an的表达式;

(2)用数学归纳法证明(1)的猜想.

学科素养创新练

16.(多选题)用数学归纳法证明2n-12n

A.1 B.2 C.3 D.4

17.已知m,n为正整数,

(1)证明:当≥1+mx;

(2)对于n≥6,已知1-1n+3n12,求证:1-mn+3n12m,m=1,2,…,n;

(3)求出满足等式3n+4n+…+(n+2)n=(n+3)n的所有正整数n.

参考答案

5.5数学归纳法

1.C因为多边形的边数最少是3,即三角形,所以在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12

2.D当n=1,n=2,n=3时,显然不等式不成立,当n=4时,不等式成立,故用数学归纳法证明n33n2+3n+1这一不等式时,应注意n必须为n∈N+,n≥4,故选D.

3.B当n=k时,左边为1k+1+1

当n=k+1时,左边为1k+2+1

所以左边需添加的项是13k+1

4.当n=1时,左边=4,右边=4,左≥右,不等式成立

6.解(1)当n=1时,∵a1=S1=S1+1S1-2,∴S1=

又a2=S2-S1=S2+1S

∴S2=23

同理S3=34,S4=4

(2)猜想Sn=nn+1(n∈N

下面用数学归纳法证明这个结论.

①当n=1时,结论成立.

②假设n=k(k∈N+)时结论成立,即Sk=kk

当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=Sk+1+1S

∴1Sk+1

∴Sk+1=12

即当n=k+1时结论成立.

由①②,知Sn=nn

7.C不等式左端共有n+1项,且分母是首项为n,公差为1,末项为2n的等差数列,当n=k时,左端为1k+1k+1+1

8.C∵P(n)对n=6不成立,无法判断当n6时,P(n)是否成立,故A错误;假设P(n)对n=5成立,则根据推理关系,得P(n)对n=6成立,与条件P(n)对n=6不成立矛盾,∴假设不成立,故B错误;同理可得,当n6时,P(n)一定不成立,故D错误,C正确.故选C.

9.C由f(n)=(2n+7)·3n+9,得f(1)=36,f(2)=3×36,f(3)=10×36,f(4)=34×36,

由此猜想m=36.

下面用数学归纳法证明:

(1)当n=1时,显然成立.

(2)假设n=k(k∈N+)时,f(k)能被36整除,即

f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除;

当n=k+1时,[2(k+1)+7]·3k+1+9=3[(2k+7)·3k+9]-18+2×3k+1=3[(2k