专题11 复数（解析版）.docx

高三数学百所名校好题分项解析汇编之上海专版(2020版)

专题11复数

一、单选题

1．（2020·上海高三）设，则是为纯虚数的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

设，则，

若，则，，当，则，不是纯虚数

若为纯虚数，则，，此时成立

所以是为纯虚数的必要不充分条件

故选B.

2．（2019·上海市吴淞中学高三开学考试）已知均为复数，则下列命题不正确的是（）

A．若则为实数 B．若，则为纯虚数

C．若，则为纯虚数 D．若，则

【答案】C

【解析】由题意，设复数，

对于A中，由，即，解得，所以复数为实数，所以A正确；

对于B中，复数，因为，可得，所以复数为纯虚数，所以是正确的；

对于C中，当时，满足，所以复数不一定为纯虚数，所以不正确；

对于D中，由，可得，即，解得或，所以，所以是正确的.故选C.

3．（2020·上海高考模拟）复数等于（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

因为,故选C.

4．（2019·上海高三期末）设，若复数是纯虚数，则点一定满足（）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由是纯虚数，

∴，得x≠0，y．

故选：B．

5．（2019·上海市七宝中学高二开学考试）若是关于的实系数方程的一个复数根，则（）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【解析】由题意可得：，

则：，

整理可得：，据此有：，

求解方程组可得：.本题选择C选项.

6．（2019·上海高三期末）已知下列4个命题：

①若复数的模相等，则是共轭复数．

②都是复数，若是虚数，则的共轭复数．

③复数是实数的充要条件是．（是的共轭复数）．

④已知复数（是虚数单位），它们对应的点分别为A，B，C.O为坐标原点．若（），则.

则其中正确命题的个数为（）.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【解析】1号可能复数相等，故错误．2号明显正确，因为如果为共轭复数，则相加为实数，不会为虚数．4号,,计算得到b=0,故正确．3号，由题可知，

，建立等式,

建立等式，得到，解得，故错误．故选B．

7．（2019·上海高三）欧拉公式（为虚数单位，，为自然底数）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【解析】e2018i＝cos2018+isin2018，

∵2018＝642π+（2018﹣642π），2018﹣642π∈，

∴cos2018＝cos（2018﹣642π）＜0．

sin2018＝sin（2018﹣642π）＞0，

∴e2018i表示的复数在复平面中位于第二象限．

故选B．

二、填空题

8．（2019·上海市南洋模范中学高三）若复数z满足，其中i为虚数单位，则_____．

【答案】

【解析】由＝﹣i，得，

∴．故答案为1﹣i．

9．（2019·上海市南洋模范中学高三月考）设复数，，若，则的值等于______．

【答案】

【解析】，，，

，，解得，因此，.

故答案为.

10．（2019·上海高三）若复数（x，，i为虚数单位）满足，则的最小值为_______.

【答案】6

【解析】由得,化简得,即,所以,当且仅当时等号成立.故答案为:6

11．（2019·上海华师大二附中高三）如果复数满足那么______.

【答案】

【解析】设z＝a+bi，则由z2﹣2z+2＝0得（a+bi）2﹣2（a+bi）+2＝0，

即a2﹣b2﹣2a+2+（2ab﹣2b）i＝0，

则a2﹣b2﹣2a+2＝0①且2ab﹣2b＝0②，

由2ab﹣2b＝0得ab﹣b＝0，

即b＝0或a＝1，若b＝0，由①得a2﹣2a+2＝0此时a无解，

若a＝1由①得b2＝1，即b＝1或b＝﹣1，

即z＝1+i或z＝1﹣i，

则|z|＝，故答案为：

12．（2019·上海高三）若复数z满足，其中i为虚数单位，则______．

【答案】

【解析】设，、b是实数，则，

，，

，，解得，，则故答案为．

13．（2019·上海市七宝中学高三月考）已知复数（为虚数单位），复数满足，则__________.

【答案】

【解析】复数，复数满足，

，,故答案为.

14．（2019·上海市建平中学高三月考）若复数满足，其中是虚数单位，则的虚部为________

【答案】

【解析】即，的虚部为

故答案为

15．（2019·上海华师大二附中高三月考）已知复数（是虚数单位），且，则当为钝角时