专题11 二次函数一元二次不等式（解析版）_1_1.docx

专题11

专题11二次函数一元二次不等式

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专题11二次函数一元二次不等式

命题解读

命题预测

复习建议

二次函数一直以来都是一个必考知识，在高中的学习中，二次函数可以说是解决“二次问题”的核心灵魂，在高考中二次函数、一元二次方程方程和一元二次不等式统称为“二次问题”，对于高考题主要是利用二次函数解决一元二次不等式，借助二次函数图形利用数形结合写出有关不等式的解集或者是未知参数的取值范围。几乎不会出现直接求解二次函数的题目，因此在复习的过程中要把二次函数和一元二次不等式相结合复习。

预计2024年的高考对于二次函数的考察，还是紧靠一元二次不等式，难度不会太大，比如集合部分和函数定义域部分的求解比较简单，稍有难度的主要还是数形结合出题，整体保持稳定。

集合复习策略：

1.掌握三个“二次”的关系；

2.理解二次函数的图象；

3.掌握数形结合求解的精髓。

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一、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系

判别式Δ＝b2－4ac

Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象

一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0

(a＞0)的根

有两相异实数根x1，x2(x1＜x2)

有两相等实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)

没有实数根

一元二次不等式

ax2＋bx＋c＞0

(a＞0)的解集

{x|x＜x1或x＞x2}

eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,,))x≠－\f(b,2a)))

R

一元二次不等式

ax2＋bx＋c＜0

(a＞0)的解集

{x|x1＜x＜x2}

?

?

二、由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法

（1）.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,b2－4ac＜0.))

（2）一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,b2－4ac＜0.))

三、．简单分式不等式

(1)eq\f(f?x?,g?x?)≥0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f?x?g?x?≥0，,g?x?≠0.))

(2)eq\f(f?x?,g?x?)0?f(x)g(x)0

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（2023全国甲文科卷11）

已知函数．记，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.

【详解】令，则开口向下，对称轴为，

因为，而，

所以，即

由二次函数性质知，

因为，而，

即，所以，

综上，，

又为增函数，故，即.

故选：A.

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1.【2020湖南省高三其他（理）】已知函数关于点对称，若对任意的恒成立，则实数k的取值范围为()

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由为奇函数，可得其图象关于对称，

可得的图象关于对称，

函数关于点对称，可得，

对任意的，恒成立，

即，在恒成立，

所以，在恒成立，

令，由，可得，

设，

当时，取得最大值11，

则k的取值范围是，

故选D.

2.【2020浙江省期末】若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为时，恒成立，所以在恒成立，

因为，当且仅当，即或（舍）等号成立，

所以，

故选A

3.若不等式的解集为，那么不等式的解集为()

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为不等式的解集为，所以和是方程的两根，且，所以,即，代入不等式整理得，因为，所以,

所以，

故选D

4.【2020浙江省课时练习】设，二次函数的图象可能是

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为,二次函数，那么可知，

在A中，a0,b0,c0，不合题意；

B中，a0,b0,c0，不合题意；

C中，a0,c0,b0,不合题意，故选D.

5．（2020·四川遂宁市·高三零模（文））函数的值域为______．

【答案】

【详解】

当时，

当时，

综上可得，的值域为

故答案为：

6.【2019天津高二期中】已知函数=.

（1）若不等式的解集为，求不等式的解集；

（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）已知，若方程在有解，求实数的取值范围.

【解析】（1）由的解集是，可得有2个不等的实根1和2，由韦达定理，可得

此时等价于，

即，解得或

所以不