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《函数的概念和图象函数的图象》教学设计二
数学设计
一、问题情境
回忆初中学过的一次函数、反比例函数以及二次函数的概念和图象.
二、学生活动
1.作出函数以及的图象.(找3名学生在黑板上作出函数图象)
2.思考:这些函数图象是如何构成的?(由满足一定条件的点构成,具体就是以x作为横坐标,y作为纵坐标描成的点,所有的点即构成函数的图象)
设计意图:从熟悉的函数入手,使学生不感到突兀,为后面得出函数的图象的定义奠定基础.
三、构建数学
一般而言,如何作出函数的图象?
函数的图象的定义:将自变量的一个值作为横坐标,相应的函数值作为纵坐标,就得到坐标平面上的一个点.当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时,就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合(点集)为,即,所有这些点组成的图形就是函数的图象.
函数的图象是由点构成的,但把所有的点都描出,大多时候是无法办到的,所以如何作出函数的图象也就是如何选点的问题.
设计意图:用严谨的数学语言给出函数的图象的定义,使学生的认知得到提升,发展学生的数学抽象核心素养.
四、数学应用
例1试画出下列函数的图象:
(1)及;
说明:一次函数的图象是一条直线,故作一次函数的图象仅需作出两点,然后连成一条直线;有些函数的图象是由一些孤立的点构成的;要注意图象整体与局部的关系(所作图象对应的函数的定义域).
图象如图(1)(2)所示.
(2);
说明:强调整体与局部的关系,可先作出整条抛物线,然后保留所需部分,多余的用虚线表示或擦掉;作抛物线通常找关键点:顶点,与x轴、y轴的交点(有的话),然后根据需要再找一些辅助点.
图象如图(3)所示.
(3).
说明:利用描点法,多描几个点,作出图象,再与的图象对比,得出此类图象的一般作法.注意从整体上考虑点的选取.
图象如图(4)所示.
从上看出,图象可以直观地反映函数的特征.实际上,我们也可以将生活中函数的表格语言转化成图象的形式.
设计意图:使学生加深对函数图象的认识.
例2作出函数的图象.
分析显然,直接利用已知函数的表达式列表描点有些困难,除去对其函数性质进行分析外,我们还应想到对已知表达式进行等价变形.
解(1)当,即时,;
当,即时.
每段函数图象可根据二次函数的图象作出来,如图所示.
方法引导:作不熟悉的函数的图象,可以将函数变形成基本函数后再作图,需注意变形过程要等价,要特别注意x,y的变化范围.因此必须熟记基本函数的图象.例如:一次函数、反比例函数、二次函数等基本函数的图象.
小结:作函数的图象应选择合适的单位长度、合适的点.选择的点尽可能多一些,要反映函数的主要特征,连线时要随着点的横坐标由小到大顺次连接,不要跳越.
设计意图:让学生掌握较复杂的函数图象的画法,为后面学习分段函数莫定基础,这里不要提分段函数的概念.
思考:设函数的定义域为A,集合与相等吗?请说明理由.
(不相等.前者表示的是点集,后者表示的是函数值的集合,是数集)
例3试画出函数的图象,并根据图象回答下列问题:
(1)比较的大小;
(2)若,试比较与的大小.
解函数图象如图(1)(2)所示.
(1)根据图(1),容易发现
,
,
所以.
(2)根据图(2)容易发现,当时,
.
说明:由说明点与点关于y轴对称.
思考:在例3(2)中,
(1)如果把“”改为“”,那么与的大小如何?
(2)如果把“”改为“”,那么与的大小如何?
教师引导学生根据图象得到:
(1);(2).
设计意图:让学生体会函数图象的应用性,为后面学习函数的单调性和奇偶性奠定基础.
说明:在这道题中,我们可以体会到可以借助图象的直观性来研究函数的一些性质.
当然,本题中这种优越性不明显,但在一些函数的相关问题中,借助图象解决问题会简单得多.
五、课堂练习
1.根据下列所给定义域,画出函数的图象:
(1);
(2);
(3)且.
答案如图(1)(2)(3)所示.
2.教材第104页练习第1,2,3题.
六、回顾小结
本节课我们学习了函数图象的作法,知道作图时应根据需要选择合适的点、合适的单位长度,要反映出函数的主要特征.事实上,我们是在常见函数的基础上作图的,且很多时候我们不可能将图象的全部都作出来,只能通过局部去反映整体,所以我们经常会作函数的示意图,且不能将图画得走样.
七、布置作业
教材第105页习题5.1第3,6题.
板书设计
第2课时函数的图象
函数的图象
定义:将自变量的一个值作为横坐标,相应的函数值作为纵坐标,就得到坐标平面上的一个点.当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时,就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合(点集)为,即,所有这些点组成的图形就是函数的图象
例题
例1
例2
小结:作函数的图象应选择合适的单位长度、合适的.点
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