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《函数的概念和图象函数的图象》教学设计二

数学设计

一、问题情境

回忆初中学过的一次函数、反比例函数以及二次函数的概念和图象.

二、学生活动

1.作出函数以及的图象.(找3名学生在黑板上作出函数图象)

2.思考:这些函数图象是如何构成的?(由满足一定条件的点构成,具体就是以x作为横坐标,y作为纵坐标描成的点,所有的点即构成函数的图象)

设计意图:从熟悉的函数入手,使学生不感到突兀,为后面得出函数的图象的定义奠定基础.

三、构建数学

一般而言,如何作出函数的图象?

函数的图象的定义:将自变量的一个值作为横坐标,相应的函数值作为纵坐标,就得到坐标平面上的一个点.当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时,就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合(点集)为,即,所有这些点组成的图形就是函数的图象.

函数的图象是由点构成的,但把所有的点都描出,大多时候是无法办到的,所以如何作出函数的图象也就是如何选点的问题.

设计意图:用严谨的数学语言给出函数的图象的定义,使学生的认知得到提升,发展学生的数学抽象核心素养.

四、数学应用

例1试画出下列函数的图象:

(1)及;

说明:一次函数的图象是一条直线,故作一次函数的图象仅需作出两点,然后连成一条直线;有些函数的图象是由一些孤立的点构成的;要注意图象整体与局部的关系(所作图象对应的函数的定义域).

图象如图(1)(2)所示.

(2);

说明:强调整体与局部的关系,可先作出整条抛物线,然后保留所需部分,多余的用虚线表示或擦掉;作抛物线通常找关键点:顶点,与x轴、y轴的交点(有的话),然后根据需要再找一些辅助点.

图象如图(3)所示.

(3).

说明:利用描点法,多描几个点,作出图象,再与的图象对比,得出此类图象的一般作法.注意从整体上考虑点的选取.

图象如图(4)所示.

从上看出,图象可以直观地反映函数的特征.实际上,我们也可以将生活中函数的表格语言转化成图象的形式.

设计意图:使学生加深对函数图象的认识.

例2作出函数的图象.

分析显然,直接利用已知函数的表达式列表描点有些困难,除去对其函数性质进行分析外,我们还应想到对已知表达式进行等价变形.

解(1)当,即时,;

当,即时.

每段函数图象可根据二次函数的图象作出来,如图所示.

方法引导:作不熟悉的函数的图象,可以将函数变形成基本函数后再作图,需注意变形过程要等价,要特别注意x,y的变化范围.因此必须熟记基本函数的图象.例如:一次函数、反比例函数、二次函数等基本函数的图象.

小结:作函数的图象应选择合适的单位长度、合适的点.选择的点尽可能多一些,要反映函数的主要特征,连线时要随着点的横坐标由小到大顺次连接,不要跳越.

设计意图:让学生掌握较复杂的函数图象的画法,为后面学习分段函数莫定基础,这里不要提分段函数的概念.

思考:设函数的定义域为A,集合与相等吗?请说明理由.

(不相等.前者表示的是点集,后者表示的是函数值的集合,是数集)

例3试画出函数的图象,并根据图象回答下列问题:

(1)比较的大小;

(2)若,试比较与的大小.

解函数图象如图(1)(2)所示.

(1)根据图(1),容易发现

所以.

(2)根据图(2)容易发现,当时,

.

说明:由说明点与点关于y轴对称.

思考:在例3(2)中,

(1)如果把“”改为“”,那么与的大小如何?

(2)如果把“”改为“”,那么与的大小如何?

教师引导学生根据图象得到:

(1);(2).

设计意图:让学生体会函数图象的应用性,为后面学习函数的单调性和奇偶性奠定基础.

说明:在这道题中,我们可以体会到可以借助图象的直观性来研究函数的一些性质.

当然,本题中这种优越性不明显,但在一些函数的相关问题中,借助图象解决问题会简单得多.

五、课堂练习

1.根据下列所给定义域,画出函数的图象:

(1);

(2);

(3)且.

答案如图(1)(2)(3)所示.

2.教材第104页练习第1,2,3题.

六、回顾小结

本节课我们学习了函数图象的作法,知道作图时应根据需要选择合适的点、合适的单位长度,要反映出函数的主要特征.事实上,我们是在常见函数的基础上作图的,且很多时候我们不可能将图象的全部都作出来,只能通过局部去反映整体,所以我们经常会作函数的示意图,且不能将图画得走样.

七、布置作业

教材第105页习题5.1第3,6题.

板书设计

第2课时函数的图象

函数的图象

定义:将自变量的一个值作为横坐标,相应的函数值作为纵坐标,就得到坐标平面上的一个点.当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时,就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合(点集)为,即,所有这些点组成的图形就是函数的图象

例题

例1

例2

小结:作函数的图象应选择合适的单位长度、合适的.点

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