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《三角函数应用》教学设计

教学设计

一、情境引入

既然大到宇宙天体的运动，小到质点的运动以及现实世界中具有周期性变化的现象无处不在，那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题？它到底能发挥哪些作用呢？

学生畅所欲言，将生活中、物理中的周而复始现象与三角函数建立关系.

设计意图：体会三角函数是解决周而复始现象的重要数学模型，体会三角函数在生活中的重要应用，学会利用数学的语言表达世界，培养学生的直观想象能力.

二、新知探究

问题1：（1）回忆从前所学，指数函数、对数函数以及幂函数的模型都是常用来描述现实世界中的哪些规律的？（2）数学模型是什么？建立数学模型的方法是什么？

（3）解决问题的一般步骤是什么？

（4）怎样处理收集到的数据？

师生互动，唤起回忆，充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程对课前已经做好复习的学生给予表扬，并鼓励他们类比以前所学知识方法，继续探究新的数学模型.对还没有进入状态的学生，教师要帮助他们回忆并快速激起相应的知识方法：收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验→用函数模型解释实际问题.

讨论结果：

（1）描述现实世界中不同增长规律的函数模型.

（2）简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述建立数学模型的方法就是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.

（3）解决问题的一般步骤是：

①审题：逐字逐句阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解数学关系；

②建模：分析题目变化趋势，选择适当的函数模型；

③求解：对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；

④还原：把数学结论还原为实际问题的答案.

（4）画出散点图，分析它的变化趋势，确定合适的函数模型.

设计意图：引导学生回顾指数函数、对数函数以及幂函数模型的建立方法，为本节课的学习做好铺垫，让学生体会由实际问题建立三角函数模型的过程，培养和发展数学建模、数学抽象、直观想象等核心素养.

问题2：如图，是单摆的示意图.点O为摆球的平衡位置，如果规定摆球向右偏移的位移为正，那么当摆球到达点C时，摆球的位移y达到最大值A；当摆球到达点O时，摆球的位移y为多少？当摆球到达点D时，摆球的位移y为多少？

教师通过多媒体展示单摆的动态过程，感受单摆的往复运动情况，在规定了正方向的情况下，学生很容易得到当摆球到达点O时，摆球的位移y为0；当摆球到达点D时，摆球的位移y为.

教师再利用多媒体展示单摆随时间的位移变化图象的形成过程，让学生感受单摆的运动位移与时间的关系，理解单摆的位移与时间关系是模型.从而自然理解三角函数表达式中每一个量的物理意义：

x表示时间，y表示相对于平衡位置的偏离；

A表示物体运动时离开平衡位置的最大距离，称为振幅；

往复运动一次所需的时间称为这个运动的周期；

单位时间内往复运动的次数称为运动的频率；

称为相位，时的相位称为初相位.

设计意图：感受三角函数在物理中的应用，理解简谐振动的图象是三角函数模型，掌握中每一个量的物理意义，同时培养学生的数学应用意识，感受数学与物理的密切联系，通过视频展示，培养学生的直观想象能力和逻辑推理能力，为下面的应用做好准备.

三、应用探究

例1、在下图中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向已知振幅为3cm周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时求：

（1）物体对平衡位置的位移x（单位：cm）和时间t（单位：s）之间的函数关系；

（2）该物体在s时的位置.

解（1）设x和t之间的函数关系为.

则由，可得.

当时，有，即.

又，可得.

因此所求函数关系为，

即.

（2）令，得，故该物体在s时的位置是在O点的左侧且距O点1.5cm处.

设计意图：利用弹簧振子的振动，引入三角函数模型的建立过程，感受三角函数在物理中的广泛应用.

变式训练：一根长lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s（cm）与时间t（s）的函数关系式是，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1s时，线长（）

A.

B.

C.

D.

解析单摆与弹簧振动一样，是简谐振动，其振动曲线是三角函数模型.因为周期，所以，则.

答案D

例2、一半径为3m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间.

（1）将点P到水面的距离z（单位：m在水面下，则z为负数）表示为时间t（单