专题15 相似与二次函数综合题分类训练（最值类存在性定值类精选30道）（解析版） .docxVIP

专题15相似与二次函数综合题分类训练

（最值类存在性定值类精选30道）

【类型一最值问题】

1．如图，二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于A(?2,0)，B(4,0)两点，与y轴交于

(1)求该二次函数的表达式；

(2)若点P是线段BC上的一个动点，连结AP，在线段AP上取一点Q，使得AQ=2PQ．

①当点P从点B运动到点C时，求点Q运动的路径长；

②点C关于x轴的对称点为点D，连结DQ，求2AP+3DQ的最小值．

【答案】(1)y=?

(2)①823；②2AP+3DQ

【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解．

（2）①在线段AC上取一点M，使得AM=2MC．连接MQ并延长交OB于点N，证明△AMQ∽△ACP得出∠AMQ=∠ACP则MN∥CB，证明△AMN∽△ACB，根据相似三角形的性质求得

②如图所示，作A点关于MN得到对称点T，连接DT，交MN于点S，设AT交MN于点E，由2AP+3DQ=323AP+DQ=3(AQ+DQ)=3QT+DQ≥3TD，当T,Q,D三点共线时取得最小值，即点Q于与点

【详解】（1）解：∵二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于A(?2,0)

∴4a?2b+4=0

解得：a=?

∴抛物线的解析式为y=?

（2）解：∵y=?12x2+x+4

∴C0,4

∴OC=OB=4,

①如图所示，连接AC，在线段AC上取一点M，使得AM=2MC．连接MQ并延长交OB于点N．

∵∠CAP=∠MAQ，AMAC

∴△AMQ∽△ACP，

∴∠AMQ=∠ACP，

∴MN

∴△AMN∽△ACB

∴MNCB

∵OC=OB=4，

∴BC=42

∴MN=23BC=82

②如图所示，作A点关于MN得到对称点T，连接DT，交MN于点S，设AT交MN于点E，

由（1）可得AN=2

∴N2,0

∵2AP+3DQ=323

∴当T,Q,D三点共线时取得最小值，即点Q于与点S重合时，取得最小值，

∵OC=OB=4，

∴△BOC是等腰直角三角形，

∵MN∥BC，

∴AT⊥MN

∴△AEN是等腰直角三角形，

连接TN，∵NA=NT,∠ANE=45°

∴∠TNE=∠ANE=45°

∴∠ANT=90°，则△ANT是等腰直角三角形，

∴T2,4

∵D?4,0

∴TD=6

∴2AP+3DQ的最小值为610

【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，相似三角形的性质与判定，轴对称的性质求线段和的最值问题，掌握以上知识是解题的关键．

2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2?32x?4，y与x轴交于

(1)直接写出点A、B、C的坐标；

(2)直接写出△ABC的重心点M的坐标；

(3)坐标系中存在点Nn,6，且∠ANB=45°，请你推导计算出n

(4)如图2．若点P在以点O为圆心，OA长为半径作的圆上，连接BP、CP，请你直接写出12

【答案】(1)A?2,0，B8,0

(2)2,?

(3)n的值为?4或10

(4)65

【分析】（1）将x=0，y=0代入y=14x2?32

（2）分别求出AB，AC的中点，再求出CD，BE的解析式，求出其交点即可；

（3）根据题意画出图象，根据图象求解即可；

（4）连接OP，PM，在y轴截取OM，使OMOP=OPOC=12，根据∠POM=∠POC，可知△POM∽△COP，则PMPC=12，故PM=1

【详解】（1）解：将x=0，代入y=14x

故C点坐标为0，

y=0将代入，y=1

0=1

0=x

x?8x+2

解得：x1=8，

故A?2,0，B

故：A?2,0，B8,0，

（2）解：由（1）可知A，B的中点D的坐标为（3，0），A，C的中点

设CD的解析式为：y=kx+b，将C，D的坐标代入可得：

?4=b0=3k+b，解得k=

CD的解析式为：y=4

设BE的解析式为：y=mx+n，将C，D的坐标代入可得：

?2=?1m+n0=8m+n，解得m=

BE的解析式为：y=2

将y=29x?169

109

解得：x=2，

代入y=29x?

故重心的坐标为：2,?4

（3）解：以AB为斜边向AB上方构造等腰Rt△ABD，N在以D为圆心，AD

过点D作EF⊥AB于点E，且EF=6，

过F点作平行与x轴的直线，与圆交于N1，N

∵∠ADB=90°

∴根据圆周角定理可知，∠A

∵A?2,0，B8,0，

∴DE=5，

∴AD=AE2+

∴N1

∵E点横坐标为3，

∴N1横坐标为3?7=?4

N2横坐标为3+7=10

N1?4,6，

故n的值为?4或10；

（4）解：如图3，连接OP，PM，在y轴截取OM，使OMOP

∵∠POM=∠POC，

∴△POM∽△COP，

∴PMPC

∴PM=1

∴12

上B、P、M三点共线时，12

在Rt△BOM中，

BM=O

即12PC+BP的最小值时

【点睛】本题属于