专题15.1 分式的混合运算与化简求值（压轴题专项讲练）（人教版）（解析版）.docxVIP

专题15.1分式的混合运算与化简求值

【典例1】阅读理解：

材料1：已知x+1x=3

解：活用倒数，∵x2

∴xx

材料2：将分式x2

解：由分母x+1，可设x2?x+3=(x+1)(x+a)+b，则

∵对于任意x上述等式成立，

∴a+1=?1,a+b=3.解得

∴x2

根据材料，解答下面问题：

（1）已知a+1a=5，则分式a

（2）已知b?1b=?3，求分式b

（3）已知x+1x?2=?73

【思路点拨】

（1）根据材料1，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值；

（2）根据材料1，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值；

（3）根据材料1和材料2，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值．

【解题过程】

（1）解：∵a+

∴2

∴a

故答案为：110

（2）∵b?

∴b?1b2

∴b

则：3

∴b

故答案为：129

（3）3

由分母x?2，可设x2

则：x

对于任意x上述等式成立，

∴a?2=?3?2a+b=3，解得，a=?1

∴3

又∵x+1x?2

∴3

∴x?23

故答案为：?1

1．（2022秋·八年级课时练习）已知实数x，y，z满足1x+y+1y+z+1z+x＝76，且zx+y+x

A．12 B．14 C．727

【思路点拨】

把zx+y+xy+z+yz+x=11两边加上3，变形可得x+y+zx+y

【解题过程】

解：∵z

∴1+z

即x+y+zx+y

∴1

而1x+y

∴14

∴x+y+z=12．

故选：A．

2．（2022秋·八年级课时练习）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+

A．-1 B．?12 C．2

【思路点拨】

观察所给算式可得c?1=1?a?b,a?1=1?b?c,b?1=1?a?c,代入整理之后对算式进行通分即可．

【解题过程】

解：由a+b+c=2可得：c?1=1?a?b,a?1=1?b?c,b?1=1?a?c，

则1

=

=

=

=

∵a+b+c=2,∴a+b+c

∴ac+bc+ab=1

故原式=?1

故选：D．

3．（2022·福建·九年级统考竞赛）若正数a，b，c满足abc?1，a+1b=3,b+

【思路点拨】

计算a+1bb+1c

【解题过程】

解：解法一：因为a+

=

=abc+a+c+

=

所以3×17×c+

解得c+1

故答案为：1125

解法二：由abc=1a+1b

因此17?b=3b?1，b=9

由此可得a=259，

所以c+

故答案为：1125

4．（2022秋·上海徐汇·七年级上海市田林第三中学校考阶段练习）（1）计算：a2

（2）2x?4

【思路点拨】

（1）先分解因式，再化简计算；（2）先计算括号里面的，再分解因式，计算除法.

【解题过程】

解：（1）a2

=

=

=

（2）2x?4

=

=

=?x

5．（2022·广东深圳·统考一模）先化简：（2a+2+a2?4a2

【思路点拨】

直接将括号里面进行加减运算，再利用分式的除法运算法则计算得出答案，注意分式的有意义．

【解题过程】

解：2

=

=

=

=1

∵a?2≠0,aa?2

∴a≠?2,0,2，

当a=1时，原式=1

6．（2022春·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考自主招生）先化简，后求值：x3+xy2+1x3

【思路点拨】

利用因式分解和整式运算法则逐步化简整式，再借助已知条件计算x，y的值，代入求解即可．

【解题过程】

解：原式=x

=xy(

=

=

=

=

=

∵x?2+

∴x?2+

即x?2+

∵x?2≥0，(y?3)

∴x?2=0，y?3=0，

解得：x=2，y=3，

将其代入，可得

原式=2×3

7．（2023春·八年级单元测试）先阅读，再答题：

12×3

13×4

……

一般地，有1n

（1）计算：1x+1

（2）计算：1x

【思路点拨】

（1）根据题目提供结论化简为1x+1

（2）根据题目提供结论将原式变形为121x

再进行同分母分式加减，最后进行异分母分式加减，化简即可求解．

【解题过程】

（1）解：1

=

=

=

=2

（2）1

=

=

=

=

=

=1011

8．（2022秋·全国·七年级期末）xyx+y=1，

【思路点拨】

对已知等式求倒数变形，整理求出1x+1y+1z的值，进而分别求出1x、1y、1z的值，从而确定x，

【解题过程】

解：∵xyx+y

∴x+yxy=1，y+z

∴21x+

∴1z

∴x=12

∴x+y+z=12

9．（2022春·八年级课时练习）已知3x?2y?4z=0，2x+y?5z=0且xyz≠0，求1z

【思路点拨】

先根据已知，求得x=2z，y=z，之后再化简式子，化简之后将我们求到的值代入即可求到最后的答案．

【解题过程】

解：由3x?2y?4z=0，2x+y?5z=0得x=2z，y=z．

∴原式=

=

=

=

将x=2z，y=z代入得9