等腰三角形模型重难点突破 2024-2025学年人教版八年级数学上册.docx

等腰三角形模型重难点突破

等腰模型(一)手拉手

类型一等腰直角三角形构手拉手

1.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,E为△ABC外一点,∠AEB=90°,求∠AEC的度数.

2如图,在五边形AOBNM中,AO=OB,MA=MN,∠AOB=∠AMN=90°,OM=8.求五边形AOBNM的面积.

类型二等边三角形构手拉手

3.如图，△ABC为等边三角形，D为BC上一动点，M为AB的延长线上一点，CD=BM.N为AD的中点,连接CN,MN.求证:MN⊥CN.

4.如图,D为等边△ABC外一点,∠ADB=60°,BE⊥AD于点E,连接CD.

(1)求证:AD+CD=BD;

(2)求证:DE=AE+CD.

类型三一般等腰三角形构手拉手

5.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=2α,P为△ABC内一点,∠APB=150°-α,∠ABP+∠ACP=60°.求证:PB=PC.

等腰模型(二)对角互补

类型一90°对90°

1.如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD,E为BD上一点,∠BAE=∠DBC=22.5°.求证:BC=AE+CD.

类型二60°对120°

2.如图,在等边△ABC中,D是BC边上的中点,E为AB的延长线上一点,F为AC上一点,∠EDF=120°,延长DF,交BA的延长线于点M.

(1)求证:ED=DF;

(2)若BD=2AF,求证:AM=2BE.

3如图,在等边△ABC中,E为△ABC外一点,O为BE的中点,D为AC上一点,△DOE为等边三角形,求证:OC=OD.

等腰模型(三)一线三等角

类型一等腰直角三角形背景

1.如图,△ABC为等腰直角三角形,∠ABC=90°,△ABD为等腰三角形,AD=AB=BC,E为DB延长线上一点,∠BAD=2∠CAE.若AE=a,BE=b,CE=c,则△ABC的面积为.(用含a，b，c的式子表示)

类型二等腰三角形背景

2.如图，△ABC为等边三角形，直线l经过点C，在l上位于点C右侧的点D满足∠BDC=60°,点F,G在直线l上,连接AF,在l上方作∠AFH=120°,且AF=HF,∠HGF=120°,求证:HG+BD=CF.

类型三等边三角形背景

3.【问题情境】(1)如图1,△ABC和△ADE都是等边三角形,连接BD,CE,求证:△ABD≌△ACE;

【迁移应用】(2)如图2,△ABC和△ADE都是等边三角形,A,B,E三点在同一条直线上,M是AD的中点,N是AC的中点,点P在BE上,且△MNP是等边三角形,求证:P是BE的中点.

4.如图,在△ABC中,∠BAC=60°,D是△ABC外一点,△BCD是等边三角形,过点D分别作AB,AC的垂线,垂足分别为E,F,若CF=3BE,则ABAC的值为

A.75B.54C.

等腰模型(四)夹半角

类型一60°夹30°

1.如图,在等边△ABC中,在AC边上取点M,N,使∠MBN=30°.若AM=m,MN=x,CN=n,则以x,m,n为边长的三角形的形状为()

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.随x,m,n的值而定

类型二120°夹60°

2.如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,E,F为BC上两点,∠EAF=60°,∠AEF=75°,BE=10,求CF的长.

类型三90°夹45°

3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°.M,N为BC上两点,∠AMN=75°,∠MAN=45°,探究MN与CN之间的数量关系.

4.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D为AB上一点,E为AB的延长线上一点,∠DCE=45°,∠CED=30°,求证:BD=BE.

等腰模型(五)“十字架”

类型一等边三角形中的“十字架”

1.如图,在等边△ABC中,D,E分别为边AB,BC上的点,AD=BE,AE与CD交于点F.

(1)求证:△ABE≌△CAD;

(2)在FC上截取FG=AF,过点G作GH∥BC交AE于点H.求证:GH=AD.

类型二等腰三角形中的“十字架”

2.如图,在等腰△ABC中,AB=BC,∠BAC=30°,D,E,F分别为线段AB,BC,AC上的点,∠ABF=∠BED,DE交BF于点G.

(1)求∠BGD的度